চতুর্থ অধ্যায় : (বীজগানিতীয় সূত্রাবলী ও প্রয়োগ )- অনুশীলনী-৪.১

1) \displaystyle a\displaystyle b\দুইটি বাস্তব সংখ্যা ।এদের যোগফল ও অন্তরফল যথাক্রমে \displaystyle 13\displaystyle 3\

ক) দু্ইটি সমীকরন গঠন কর ।

খ) \displaystyle 2a^{2} +2b^{2}\displaystyle ab এর মান বের কর ।

গ) \displaystyle 4a^{2} -8ab+4b^{2}\displaystyle 36a^{2} +36b^{2} +72ab\ এর মান বের কর ।

ক)

প্রশ্নমতে ,

\displaystyle a\displaystyle b বাস্তব সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল ও অন্তরফল যথাক্রমে 13 ও 3

সুতরাং

\displaystyle a+b=13 এবং \displaystyle a-b=3

খ)

দেওয়া আছে,

\displaystyle a+b=13\displaystyle a-b=3

এখন,

\displaystyle 2a^{2} +2b^{2}

\displaystyle =2\left( a^{2} +b^{2}\right)

\displaystyle =( a+b)^{2} +( a-b)^{2}

\displaystyle =( 13)^{2} +( 3)^{2}

\displaystyle =13.13+3.3

\displaystyle =169+9

\displaystyle =178

আবার,

\displaystyle ab=\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} -\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}

\displaystyle =\frac{( a+b)^{2}}{2^{2}} -\frac{( a-b)^{2}}{2^{2}}

\displaystyle =\frac{( 13)^{2}}{4} -\frac{( 3)^{2}}{4}

\displaystyle =\frac{13.13}{4} -\frac{3.3}{4}

\displaystyle =\frac{169}{4} -\frac{9}{4}

\displaystyle =\frac{169-9}{4}

\displaystyle =\frac{160}{4}

\displaystyle =40

উত্তর : \displaystyle 2a^{2} +2b^{2} =178\displaystyle ab=40

গ)

দেওয়া আছে ,

\displaystyle a+b=13\displaystyle a-b=3

এখন,

\displaystyle 4a^{2} -8ab+4b^{2}

\displaystyle =( 2a)^{2} -2.2a.2b+( 2b)^{2} [ \displaystyle ( a-b)^{2} =a^{2} -2ab+b^{2} সূত্র অনুযায়ী ]

\displaystyle =( 2a-2b)^{2}

\displaystyle ={2( a-b)}^{2}

\displaystyle =( 2.3)^{2}

\displaystyle =( 6)^{2}

\displaystyle =36

আবার

\displaystyle 36a^{2} +36b^{2} +72ab

\displaystyle =36\left( a^{2} +b^{2} +2ab\right)

\displaystyle =36\left( a^{2} +2ab+b^{2}\right)

\displaystyle =36.( a+b)^{2}

\displaystyle =36.( 13)^{2}

\displaystyle =36.13.13

\displaystyle =6084

উত্তর: \displaystyle 36\displaystyle 6084

2) \displaystyle a\displaystyle b দুইটি বাস্তব সংখ্যা । এরা \displaystyle a^{2} =am+1 সমীকরন দ্বারা সংখ্যায়িত ।

ক) \displaystyle \left( a-\frac{1}{a}\right) এর মান \displaystyle m এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

খ) \displaystyle a^{2} +\frac{1}{a^{2}} কে \displaystyle m এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

গ) দেখাও যে , \displaystyle a^{4} +\frac{1}{a^{4}} =m^{4} +4m^{2} +2

ক)

দেওয়া আছে ,

\displaystyle a^{2} =am+1

\displaystyle \Longrightarrow a^{2} -1=am

\displaystyle \Longrightarrow \frac{a^{2}}{a} -\frac{1}{a} =\frac{am}{a} [উভয় পক্ষ \displaystyle a দ্বারা ভাগ করে পাই ]

\displaystyle \Longrightarrow a-\frac{1}{a} =m

খ)

ক) হতে পাই,

\displaystyle a-\frac{1}{a} =m

\displaystyle \Longrightarrow \left( a-\frac{1}{a}\right)^{2} =m^{2}

\displaystyle \Longrightarrow a^{2} -2.a.\frac{1}{a} +\frac{1}{a^{2}} =m^{2}

\displaystyle \Longrightarrow a^{2} -2+\frac{1}{a^{2}} =m^{2}

\displaystyle \Longrightarrow a^{2} +\frac{1}{a^{2}} =m^{2} +2

গ)


দেখাতে হবে যে , \displaystyle a^{4} +\frac{1}{a^{4}} =m^{4} +4m^{2} +2

খ) হতে পাই ,

\displaystyle a^{2} +\frac{1}{a^{2}} =m^{2} +2

\displaystyle \Longrightarrow \left( a^{2} +\frac{1}{a^{2}}\right)^{2} =\left( m^{2} +2\right)^{2} [ উভয় পক্ষ বগ করে পাই ]

\displaystyle \Longrightarrow \left( a^{2}\right)^{2} +2.a^{2} .\frac{1}{a^{2}} +\left(\frac{1}{a^{2}}\right)^{2} =\left( m^{2}\right)^{2} +2.m^{2} .2+2^{2}

\displaystyle \Longrightarrow a^{4} +2+\frac{1}{a^{4}} =m^{4} +4m^{2} +4

\displaystyle \Longrightarrow a^{4} +\frac{1}{a^{4}} =m^{4} +4m^{2} +4-2

\displaystyle \Longrightarrow a^{4} +\frac{1}{a^{4}} =m^{4} +4m^{2} +2 (দেখানো হলো)

3) \displaystyle a-\frac{1}{a} ,a+\frac{1}{a} ,a^{4} +\frac{1}{a^{4}} \ এবং\ \frac{a^{6} +1}{a^{3}} চারটি বীজগানিতীক রাশি ।

ক) \displaystyle a+\frac{1}{a} =5 হলে , \displaystyle \left( a-\frac{1}{a}\right)^{2}এর মান বের কর ।

খ) \displaystyle a-\frac{1}{a} =x হলে, \displaystyle a^{4} +\frac{1}{a^{4}} এর মান বের কর ।

গ) ২য় রাশি\displaystyle =2 হলে, প্রমান কর যে, \displaystyle a^{4} +\frac{1}{a^{4}} =\frac{a^{6} +1}{a^{3}}

ক)

দেওয়া আছে,

\displaystyle a+\frac{1}{a} =5

প্রদও রাশি\displaystyle =\left( a-\frac{1}{a}\right)^{2}

\displaystyle =\left( a+\frac{1}{a}\right)^{2} -4.a.\frac{1}{a} [ আমরা জানি, \displaystyle ( a-b)^{2} =( a+b)^{2} -4ab ]

\displaystyle =( 5)^{2} -4

\displaystyle =5.5-4

\displaystyle =25-4

\displaystyle =21

খ)

দেওয়া আছে ,

\displaystyle a-\frac{1}{a} =x

\displaystyle \Longrightarrow \left( a-\frac{1}{a}\right)^{2} =x^{2} [ উভয়পক্ষ বরগো করে পাই ]

\displaystyle \Longrightarrow a^{2} -2.a.\frac{1}{a} +\frac{1}{a^{2}} =x^{2} [ আমরা জানি, \displaystyle ( a-b)^{2} =a^{2} -2ab+b^{2} ]

\displaystyle \Longrightarrow a^{2} -2+\frac{1}{a^{2}} =x^{2}

\displaystyle \Longrightarrow a^{2} +\frac{1}{a^{2}} =x^{2} +2

\displaystyle \Longrightarrow \left( a^{2} +\frac{1}{a^{2}}\right)^{2} =\left( x^{2} +2\right)^{2} [ পূনরায় বরগো করে পাই ]

\displaystyle \Longrightarrow \left( a^{2}\right)^{2} +2.a^{2} .\frac{1}{a^{2}} +\left(\frac{1}{a^{2}}\right)^{2} =\left( x^{2}\right)^{2} +2.x^{2} .2+2^{2}

\displaystyle \Longrightarrow a^{4} +2+\frac{1}{a^{4}} =x^{4} +4x^{2} +4

\displaystyle \Longrightarrow a^{4} +\frac{1}{a^{4}} =x^{4} +4x^{2} +4-2

\displaystyle \Longrightarrow a^{4} +\frac{1}{a^{4}} =x^{4} +4x^{2} +2

গ)

দেওয়া আছে ,

\displaystyle a+\frac{1}{a} =2

প্রমান করতে হবে যে, \displaystyle a^{4} +\frac{1}{a^{4}} =\frac{a^{6} +1}{a^{3}}

বামপক্ষ\displaystyle =a^{4} +\frac{1}{a^{4}}

\displaystyle =\left( a^{2}\right)^{2} +\left(\frac{1}{a^{2}}\right)^{2}

\displaystyle =\left( a^{2} +\frac{1}{a^{2}}\right)^{2} -2.a^{2} .\frac{1}{a^{2}}

\displaystyle =\left{\left( a+\frac{1}{a}\right)^{2} -2.a.\frac{1}{a}\right}^{2} -2

\displaystyle =\left{( 2)^{2} -2\right}^{2} -2

\displaystyle =( 4-2)^{2} -2

\displaystyle =( 2)^{2} -2

\displaystyle =4-2

\displaystyle =2
আবার,

ডানপক্ষ\displaystyle =\frac{a^{6} +1}{a^{3}}

\displaystyle =\frac{a^{6}}{a^{3}} +\frac{1}{a^{3}}

\displaystyle =a^{3} +\frac{1}{a^{3}}

\displaystyle =\left( a+\frac{1}{a}\right)^{3} -3.a.\frac{1}{a}\left( a+\frac{1}{a}\right)

\displaystyle =( 2)^{3} -3.2

\displaystyle =2.2.2-6

\displaystyle =8-6

\displaystyle =2

সুতরাং বামপক্ষ=ডানপক্ষ

অর্থাৎ \displaystyle a^{4} +\frac{1}{a^{4}} =\frac{a^{6} +1}{a^{3}} ( প্রমানিত )

3) \displaystyle x-y=3 এবং \displaystyle xy=10, যেখানে \displaystyle x >y এবং \displaystyle x\displaystyle y ধনাক্তক

ক) \displaystyle x+y)^{2} =কত?

খ) \displaystyle x^{2} +y^{2}\displaystyle x^{2} -y^{2} এর মান নির্নয় কর ।

গ) \displaystyle x^{4} +y^{4}\displaystyle x^{4} -y^{4} এর মান নির্নয় কর ।

ক)

দেওয়া আছে,

\displaystyle x-y=3

এবং \displaystyle xy=10

আমরা জানি,

\displaystyle ( x+y)^{2} =( x-y)^{2} +4xy

\displaystyle =( 3)^{2} +4.10

\displaystyle =3.3+40

\displaystyle =9+40

\displaystyle =49

খ)

দেওয়া আছে,

\displaystyle x-y=3 এবং \displaystyle xy=10

ক) হতে পাই,

\displaystyle ( x+y)^{2} =49

আমরা জানি,

\displaystyle x^{2} +y^{2} =( x+y)^{2} -2xy

\displaystyle =49-2.10

\displaystyle =49-20

\displaystyle =29 Ans

আবার,

\displaystyle ( x+y)^{2} =49

\displaystyle \Longrightarrow \sqrt{( x+y)^{2}} =\pm \sqrt{49} [উভয় পক্ষ বর্গমূল করে পাই ]

\displaystyle \Longrightarrow x+y=\pm 7

\displaystyle \Longrightarrow x+y=7 [ যেহেতু \displaystyle x\displaystyle y ধনাক্তক ]

এখন,

\displaystyle x^{2} -y^{2} =( x+y)( x-y)

\displaystyle =( 3.7)

\displaystyle =21 Ans

সুতরাং নির্নয় মান: \displaystyle 29\displaystyle 21

Post Author: showrob

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

22 − = 14