ভেক্টর বিশ্লেষণ গানিতিক সমাধান নং-১

১-ক) \displaystyle P( 1,-2,2) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর এবং এর দিক কিংবা সমান্তরাল দিকে একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।

১) \displaystyle \overline{P\ } =( 2,-3,-1) এবং \displaystyle \overline{Q}( \ 4,3,2) হলে \displaystyle \overline{PQ} এবং \displaystyle \overline{PQ}এর সমান্তরাল দিকেএকক ভেক্টর নির্নয় কর ।

১-খ) যদি \displaystyle \overline{a} =-2\hat{i} +\hat{j} +3\hat{k} এবং \displaystyle \overline{b} =\hat{i} -2\hat{j} -6\hat{k} হয় তবে i) \displaystyle \overline{a} +\overline{b} এবং ii) \displaystyle \overline{a} -\overline{b} এর মান নির্নয় কর ।


২) যদি \displaystyle \overline{P} =-5\hat{i} -\hat{j} +8\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =-3\hat{i} -2\hat{j} -7\hat{k} ভেক্টরদ্বয়ের ল্দি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।
৩) \displaystyle \overline{r} =-3\hat{i} -2\hat{j} +6\hat{k} হলে \displaystyle \overline{r}এর দিকে কোসাইনগুলো নির্নয় কর ।
৪) \displaystyle \overline{a} =2\hat{i} +2\hat{j} -\hat{k}\displaystyle \overline{b} =6\hat{i} -3\hat{j} +2\hat{k} হলে \displaystyle \overline{a}\displaystyle \overline{b} এর মান নির্ণয় কর । \displaystyle ( 2\hat{a} +3\hat{b}) এবং \displaystyle ( 2\hat{a} -3\widehat{b)} এর মান নির্নয় কর ।
৫) P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \displaystyle \hat{i} +3\hat{j} -7\hat{k}\displaystyle 5\hat{i} -2\hat{j} +4\hat{k} হয় , তবে ভেক্টর \displaystyle \overline{PQ} এর মান ও দিক কোসাইন নির্ণয় কর ।
৬) \displaystyle \overline{A} =3\hat{i} -2\hat{j} +2\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =6\hat{i} +4\hat{j} -2\hat{k} হলে, \displaystyle \overline{A} .\overline{B} নির্নয় কর ।
৭) দুইটি ভেক্টর \displaystyle \overline{A} =2\hat{i} +5\hat{j} +2\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =\hat{i} -2\hat{j} +4\hat{k} হলে এদের মধ্যবর্তী কোন নির্ণয় কর ।
৮) একটি ভেক্টর \displaystyle \overline{a} এর মান \displaystyle 10 একক ও অপর একটি ভেক্টর \displaystyle \overline{b} এর মান \displaystyle 6 একক উহাদের মধ্যবর্তী কোন \displaystyle 60^{0} ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণফল নির্ণয় কর ।
৯) দেখাও যে, \displaystyle \overline{a} =8\hat{i} +\hat{j} -6\hat{k} এবং \displaystyle \overline{b} =4\hat{i} -2\hat{j} +5\hat{k} ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব ।
১০) \displaystyle \overline{F} =2\hat{i} -\hat{j} +5\hat{k} বলের একটি কনাকে \displaystyle ( 1,1,1) বিন্দু হতে \displaystyle ( 5,-2,6) বিন্দুতে সরিয়ে নেওয়া হলো । কৃতকাজের পরিমান নির্ণয় কর ।
১১) \displaystyle \overline{A} =3\hat{i} -2\hat{j} +2\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =6\hat{i} +4\hat{j} -2\hat{k} হলে \displaystyle \overline{A} X\overline{B} বের কর ।
১২) \displaystyle \overline{P} =5\hat{i} +2\hat{j} -4\hat{k} এবং \displaystyle Q=2\hat{i} +3\hat{j} +4\hat{k} হলে দেখাও যে, ভেক্টর দ্বয় পরস্পর লম্ব ।
১৩) \displaystyle \overline{a} =x\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k} এবং \displaystyle \overline{b} =2\hat{i} +5\hat{j} +4\hat{k} \displaystyle xএর মান কত হলে ভেক্টরদ্বয় লম্ব হবে ।
১৪) যদি \displaystyle \overline{P} =2\hat{i} -\hat{j} +\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =\hat{i} +\hat{j} +\hat{k} হয় তবে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোন নির্নয় কর ।
১৫) যদি \displaystyle \overline{P} =2i+4\hat{j} -5\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =\hat{i} +\hat{j} +3\hat{k} হয় তবে এদের মধ্যবর্তী কোন নির্নয় কর ।
১৬) যদি \displaystyle \overline{a} =6\hat{i} -2\hat{j} +3\hat{k} এবং \displaystyle \overline{b} =2\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k} হয় তবে \displaystyle \overline{a} উপর \displaystyle \overline{b} এর অভিক্ষপ এবং \displaystyle \overline{b} এর উপর \displaystyle \overline{a} এর অভিক্ষপ নির্ণয় কর ।
১৭) যদি , \displaystyle \overline{A} =\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k} , \displaystyle \overline{B} =4\hat{i} -4\hat{j} +7\hat{k} হয় তবে, (i) \displaystyle \overline{A} উপর \displaystyle \overline{B} এর অভিক্ষপ এবং ii) \displaystyle \overline{B} এর উপর \displaystyle \overline{A} এর অভিক্ষপ নির্নয় কর ।
১৮) যদি, \displaystyle \overline{P} =2\hat{i} -\hat{j} -3\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =2\hat{j} +3\hat{k} হলে , ভেক্টরদ্বয় যে তলে অবস্থান করে তার লম্ব দিকে একক ভেক্টর নির্নয় কর ।

উপরের সকল অঙ্কের সমাধান:

১-ক) সমাধান,

P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \displaystyle \overline{P} =\hat{i} -2\hat{j} +2\hat{k}
সুতরাং , \displaystyle | \overline{P}| =\sqrt{1^{2} +( -2)^{2} +2^{2}}
\displaystyle =\sqrt{1+4+4}
\displaystyle =\sqrt{9}
\displaystyle =3
\displaystyle \overline{P} এর দিকে কিংবা সমান্তরাল দিকে একক ভেক্টর \displaystyle \hat{P} হলে, \displaystyle \hat{P} =\frac{\overline{P}}{| \overline{P}| }
\displaystyle =\frac{\hat{i} -2\hat{j} +2\hat{k}}{3} \displaystyle =\frac{1}{3}\hat{i} -\frac{2}{3}\hat{j} +\frac{2}{3}\hat{k}

১ ) সমাধান,


P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \displaystyle \overline{P} =2\hat{i} -3\hat{j} -\hat{k}
Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \displaystyle \overline{Q} =4\hat{i} -3\hat{j} -2\hat{k}
সুতরাং , \displaystyle \overline{PQ} =( 4-2)\hat{i} +( 3+3)\hat{j} +( 2+1)\hat{k}
\displaystyle =2\hat{i} +6\hat{j} +3\hat{k}
অতএব, \displaystyle | \overline{PQ}| =\sqrt{2^{2} +6^{2} +3^{2}}
\displaystyle =\sqrt{4+36+9}
\displaystyle =\sqrt{49}
\displaystyle =7
সুতরাং , \displaystyle \overline{PQ}এর সমান্তরাল একক ভেক্টর \displaystyle =\frac{\overline{PQ}}{| \overline{PQ}| }
\displaystyle =\frac{2\hat{i} +6\hat{j} +3\hat{k}}{7}
\displaystyle =\frac{2}{7}\hat{i} +\frac{6}{7}\hat{j} +\frac{3}{7}\hat{k}

১-খ ) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{a} =-2\hat{i} +\hat{j} +3\hat{k} এবং
\displaystyle \overline{b} =\hat{i} -2\hat{j} -6\hat{k}
i) নং ,
সুতরাং, \displaystyle \overline{a} +\overline{b} =( -2\hat{i} +\hat{j} +3\hat{k}) +(\hat{i} -2\hat{j} -6\hat{k})
\displaystyle =-2\hat{i} +\hat{j} +3\hat{k} +\hat{i} -2\hat{j} -6\hat{k}
\displaystyle =-\hat{i} -\hat{j} -3\hat{k}
ii) নং,
সুতরাং, \displaystyle \overline{a} -\overline{b} =( -2\hat{i} +\hat{j} +3\hat{k}) -(\hat{i} -2\hat{j} -6\hat{k})
\displaystyle =-2\hat{i} +\hat{j} +3\hat{k} -\hat{i} +2\hat{j} +6\hat{k}
\displaystyle =-3\hat{i} +3\hat{j} +9\hat{k}

২ ) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{P} =5\hat{i} -\hat{j} +8\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =-3\hat{i} -\hat{j} -7\hat{k}

ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি , \displaystyle \overline{R} =\overline{P} +\overline{Q}
\displaystyle =( 5\hat{i} -\hat{j} +8\hat{k}) +( -3\hat{i} -\hat{j} -7\hat{k})
\displaystyle =5\hat{i} -\hat{j} +8\hat{k} -3\hat{i} -\hat{j} -7\hat{k}
\displaystyle =2\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k}

\displaystyle \overline{R} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{R}| =\sqrt{2^{2} +( -2)^{2} +1^{2}}
\displaystyle =\sqrt{4+4+1}
\displaystyle =\sqrt{9}
\displaystyle =3

so, \displaystyle \overline{R}এর সমান্তরাল একক ভেক্টর \displaystyle =\frac{\overline{R}}{| \overline{R}| }
\displaystyle =\frac{2\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k}}{3}
\displaystyle =\frac{2}{3}\hat{i} -\frac{2}{3}\hat{j} +\frac{1}{3}\hat{k}

৩ ) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{r} =-3\hat{i} -2\hat{j} +6\hat{k}
ধরি, \displaystyle \overline{r} এর দিকে কোসাইন l,m and n
সুতরাং, \displaystyle l=\frac{-3}{\sqrt{( -3)^{2} +( -2)^{2} +6^{2}}}

\displaystyle =\frac{-3}{\sqrt{9+4+36}}
\displaystyle =\frac{-3}{\sqrt{49}}
\displaystyle =\frac{-3}{7}
আবার,

\displaystyle m=\frac{-2}{\sqrt{( -3)^{2} +( -2)^{2} +6^{2}}}
\displaystyle =\frac{-2}{\sqrt{9+4+36}}
\displaystyle =\frac{-2}{\sqrt{49}}
\displaystyle =\frac{-2}{7}

আবার,

\displaystyle n=\frac{6}{\sqrt{( -3)^{2} +( -2)^{2} +6^{2}}}
\displaystyle =\frac{6}{\sqrt{9+4+36}}
\displaystyle =\frac{6}{\sqrt{49}}
\displaystyle =\frac{6}{7}

৪ ) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{a} =2\hat{i} +2\hat{j} -\hat{k} এবং \displaystyle \overline{b} =6\hat{i} -3\hat{j} +2\hat{k}
সুতরাং, \displaystyle \overline{a}এর মান \displaystyle | \overline{a}| =\sqrt{2^{2} +2^{2} +( -1)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{4+4+1}
\displaystyle =\sqrt{9}
\displaystyle =3
আবার, \displaystyle \overline{b} এর মান \displaystyle | \overline{b}| =\sqrt{6^{2} +( -3)^{2} +2^{2}}
\displaystyle =\sqrt{36+9+4}
\displaystyle =\sqrt{49}
\displaystyle =7

সুতরাং, \displaystyle 2\overline{a} +3\overline{b} =2( 2\hat{i} +2\hat{j} -\hat{k}) +3( 6\hat{i} -3\hat{j} +2\hat{k})
\displaystyle =4\hat{i} +4\hat{j} -2\hat{k} +18\hat{i} -9\hat{j} +6\hat{k}
\displaystyle =22\hat{i} -5\hat{j} +4\hat{k}

so, \displaystyle 2\overline{a} +3\overline{b} এর মান \displaystyle | 2\overline{a} +3\overline{b}| =\sqrt{( 22)^{2} +( -5)^{2} +4^{2}}
\displaystyle =\sqrt{484+25+16}
\displaystyle =\sqrt{525}
\displaystyle =\sqrt{25.21}
\displaystyle =\sqrt{25} .\sqrt{21}
\displaystyle =5\sqrt{21}

সুতরাং, \displaystyle 3\overline{a} -2\overline{b} =3( 2\hat{i} +2\hat{j} -\hat{k}) -2( 6\hat{i} -3\hat{j} +2\hat{k})
\displaystyle =6\hat{i} +6\hat{j} -3\hat{k} -12\hat{i} +6\hat{j} -4\hat{k}
\displaystyle =-6\hat{i} +12\hat{j} -7\hat{k}

so, \displaystyle 3\overline{a} -2\overline{b} এর মান \displaystyle | 3\overline{a} -2\overline{b}| =\sqrt{( -6)^{2} +( 12)^{2} +( -7)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{36+144+49}
\displaystyle =\sqrt{229}

৫ ) সমাধান,


দেওয়া আছে,

P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \displaystyle \overline{P} =\hat{i} +3\hat{j} -7\hat{k}
Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \displaystyle \overline{Q} =5\hat{i} -2\hat{j} +4\hat{k}

\displaystyle \overline{PQ} =( 5-1)\hat{i} +( -2-3)\hat{j} +( 4+7)\hat{k}
\displaystyle =4\hat{i} -5\hat{j} +11\hat{k}
সুতরাং , \displaystyle \overline{PQ} ভেক্টরের মান \displaystyle | \overline{PQ}| =\sqrt{4^{2} +( -5)^{2} +( 11)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{16+25+121}
\displaystyle =\sqrt{162}

ধরি, \displaystyle \overline{PQ} এর দিক কোসাইন যথাক্রমে , l,m and n
সুতরাং, \displaystyle l=\frac{4}{\overline{PQ}}
\displaystyle =\frac{4}{\sqrt{162}}

\displaystyle m=\frac{-5}{\sqrt{162}}

\displaystyle n=\frac{11}{\sqrt{162}}

৬) সমাধান


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =3\hat{i} -2\hat{j} +2\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =6\hat{i} +4\hat{j} -2\hat{k}

এখন, \displaystyle \overline{A} .\overline{B} =( 3\hat{i} -2\hat{j} +2\hat{k}) .( 6\hat{i} +4\hat{j} -2\hat{k})
\displaystyle =3.6+( -2) .4+2.( -2)
\displaystyle =18-8-4
\displaystyle =18-12
\displaystyle =6

৭) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =2\hat{i} +4\hat{j} +2\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =\hat{i} -2\hat{j} +4\hat{k}

\displaystyle \overline{A} ভেক্টরের মান \displaystyle | \overline{A}| =\sqrt{2^{2} +4^{2} +2^{2}}
\displaystyle =\sqrt{4+16+4}
\displaystyle =\sqrt{24}
\displaystyle =\sqrt{4.6}
\displaystyle =\sqrt{4} .\sqrt{6}
\displaystyle =2\sqrt{6}
আবার,
\displaystyle \overline{B} ভেক্টরের মান \displaystyle | \overline{B}| =\sqrt{1^{2} +( -2)^{2} +4^{2}}
\displaystyle =\sqrt{1+4+16}
\displaystyle =21

এখন, \displaystyle \overline{A} .\overline{B} =( 2\hat{i} +4\hat{j} +2\hat{k}) .\widehat{( i} -2\hat{j} +4\hat{k})
\displaystyle =2-8+8
\displaystyle =2
আমরা জানি ,

\displaystyle \overline{A} .\overline{B} \ =\ | \overline{A}| .| \overline{B}| \ Cos\varTheta

or, \displaystyle | \overline{A}| .| \overline{B}| \ Cos\varTheta =\overline{A} .\overline{B}

or, \displaystyle \ Cos\varTheta =\frac{\overline{A} .\overline{B}}{| \overline{A}| .| \overline{B}| }

or, \displaystyle \varTheta =Cos^{-1}\frac{2}{2\sqrt{6} .\sqrt{21}}

or, \displaystyle \varTheta =Cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{6} .\sqrt{21}}

or, \displaystyle \varTheta =Cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{126}}

or, \displaystyle \varTheta =Cos^{-1}( 0.089)

or, \displaystyle \varTheta =84.49^{0}

৮) সমাধান,


দেওয়া আছে,

\displaystyle \overline{a} ভেক্টরের মান\displaystyle | \overline{a}| =10 এবং

\displaystyle \overline{b} ভেক্টরের মান \displaystyle | \overline{b}| =6 ও কোন \displaystyle \varTheta =60^{0}
আমরা জানি,

\displaystyle \overline{a} .\overline{b} =| \overline{a}| .| \overline{b}| cos\varTheta

\displaystyle =10.6.cos60^{0}
\displaystyle =10.6.\frac{1}{2}

\displaystyle =10.3.1

\displaystyle =30

৯) সমাধান ,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{a} =8\hat{i} +\hat{j} -6\hat{k} এবং \displaystyle \overline{b} =4\hat{i} -2\hat{j} +5\hat{k}
ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে যদি , \displaystyle \overline{a} .\overline{b} =0 হয় ।
\displaystyle \overline{a} .\overline{b} \ =( 8\hat{i} +\hat{j} -6\hat{k}) .( 4\hat{i} -2\hat{j} +5\hat{k})
\displaystyle =8.4+1.( -2) +( -6) .5
\displaystyle =32-2-30
\displaystyle =32-32
\displaystyle =0

সুতরাং, \displaystyle cos\varTheta =0
\displaystyle \varTheta =Cos^{-1}( 0)
\displaystyle \varTheta =90^{0}

সুতরাং , \displaystyle \overline{a}\displaystyle \overline{b} ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব ।

১০) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{F} =2\hat{i} -\hat{j} +5\hat{k}
প্রশ্ননুযায়ী সরন ভেক্টর ,
\displaystyle \overline{S} =( 5-1)\hat{i} +( -2-1)\hat{j} +( 6-1)\hat{k}
\displaystyle =4\hat{i} -3\hat{j} +5\hat{k}

আমরা জানি,
কৃত কাজ, \displaystyle W=\displaystyle \overline{F} .\overline{S}
\displaystyle =( 2\hat{i} -\hat{j} +5\hat{k}) .( 4\hat{i} -3\hat{j} +5\hat{k})
\displaystyle =2.4+( -1) .( -3) +5.5
\displaystyle =8+3+25
\displaystyle =36 একক ।

১১ ) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =3\hat{i} -2\hat{j} +2\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =6\hat{i} +4\hat{j} -2\hat{k}

সুতরাং , \displaystyle \overline{A} X\overline{B} =( 3\hat{i} -2\hat{j} +2\hat{k}) X( 6\hat{i} +4\hat{j} -2\hat{k})

\displaystyle =\hat{i}( 4-8) +\hat{j}( 12+6) +\hat{k}( 12+12)
\displaystyle =-4\hat{i} +18\hat{j} +24\hat{k}

১২ ) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{P} =5\hat{i} +2\hat{j} -4\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =2\hat{i} +3\hat{j} +4\hat{k}

ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে যদি এর ডট বা \displaystyle \overline{P} .\overline{Q} =0 হয় ।
\displaystyle \overline{P} .\overline{Q} =( 5\hat{i} +2\hat{j} -4\hat{k}) .( 2\hat{i} +3\hat{j} +4\hat{k})
\displaystyle =5.2+2.3+( -4) .4
\displaystyle =10+6-16
\displaystyle =16-16
\displaystyle =0

যেহেতু , \displaystyle \overline{P} .\overline{Q} =0 , so \displaystyle \overline{P}\displaystyle \overline{Q} ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব ।

১৩) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{a} =x\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k} এবং \displaystyle \overline{b} =2\hat{i} +5\hat{j} +4\hat{k}

আমরা জানি,
ভেক্টরদ্বয় লম্ব হবে যদি, \displaystyle \overline{a} .\overline{b} =0 হয় ।
এখন,
\displaystyle \overline{a} .\overline{b} =( x\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k}) .( 2\hat{i} +5\hat{j} +4\hat{k})
or, \displaystyle 0=x.2+( -2) .5+1.4
or, \displaystyle 0=2x-10+4
or, \displaystyle 0=2x-6
or, \displaystyle 2x-6=0
or, \displaystyle 2x=6
or, \displaystyle x=\frac{6}{2}
or, \displaystyle x=3
সুতরাং, \displaystyle xএর মান 3 হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে ।

১৪ ) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{P} =2\hat{i} -\hat{j} +\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =\hat{i} +\hat{j} +\hat{k}
সুতরাং,
\displaystyle \overline{P} .\overline{Q} =( 2\hat{i} -\hat{j} +\hat{k}) .(\hat{i} +\hat{j} +\hat{k})
\displaystyle =2.1+( -1) .1+1.1
\displaystyle =2-1+1
\displaystyle =2
\displaystyle \overline{P} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{P}| =\sqrt{2^{2} +( -1)^{2} +1^{2}}
\displaystyle =\sqrt{4+1+1}
\displaystyle =\sqrt{6}
\displaystyle \overline{Q} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{Q}| =\sqrt{1^{2} +1^{2} +1^{2}}
\displaystyle =\sqrt{1+1+1}
\displaystyle =\sqrt{3}
আমরা জানি,

\displaystyle \overline{P} .\overline{Q} =| \overline{P}| .| \overline{Q}| Cos\theta

or, \displaystyle | \overline{P}| .| \overline{Q}| Cos\theta =\overline{P} .\overline{Q}

or, \displaystyle Cos\theta =\frac{\overline{P} .\overline{Q}}{| \overline{P}| .| \overline{Q}| }

or, \displaystyle \theta =Cos^{-1}\left(\frac{\overline{P} .\overline{Q}}{| \overline{P}| .| \overline{Q}| }\right)

or, \displaystyle \theta =Cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{6} .\sqrt{3}}

or, \displaystyle \theta =Cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{18}}

or, \displaystyle \theta =Cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{9.2}}

or, \displaystyle \theta =Cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{9} .\sqrt{2}}

or, \displaystyle \theta =Cos^{-1}\left(\frac{2}{3\sqrt{2}}\right)

১৫) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{P} =2\hat{i} +4\hat{j} -5\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =\hat{i} +\hat{j} +3\hat{k}
এখন,
\displaystyle \overline{P} .\overline{Q} =( 2\hat{i} +4\hat{j} -5\hat{k}) .(\hat{i} +\hat{j} +3\hat{k})
\displaystyle =2.1+4.1+( -5) .3
\displaystyle =2+4-15
\displaystyle =6-15
\displaystyle =-9

\displaystyle \overline{P} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{P}| =\sqrt{2^{2} +4^{2} +( -5)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{4+16+25}
\displaystyle =\sqrt{45}
\displaystyle \overline{Q} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{Q}| =\sqrt{1^{2} +1^{2} +3^{2}}
\displaystyle =\sqrt{1+1+3}
\displaystyle =\sqrt{5}

আমরা জানি,

\displaystyle \overline{P} .\overline{Q} =| \overline{P}| .| \overline{Q}| Cos\theta

or, \displaystyle | \overline{P}| .| \overline{Q}| Cos\theta =\overline{P} .\overline{Q}

or, \displaystyle Cos\theta =\frac{\overline{P} .\overline{Q}}{| \overline{P}| .| \overline{Q}| }

or, \displaystyle \theta =Cos^{-1}\left(\frac{\overline{P} .\overline{Q}}{| \overline{P}| .| \overline{Q}| }\right)

or, \displaystyle \theta =Cos^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{45} .\sqrt{5}}\right)

or, \displaystyle \theta =Cos^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{225}}\right)

or, \displaystyle \theta =Cos^{-1}\left(\frac{-9}{15}\right)

১৬) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{a} =6\hat{i} -2\hat{j} +3\hat{k} এবং \displaystyle \overline{b} =2\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k}

এখন,
\displaystyle \overline{a} .\overline{b} =( 6\hat{i} -2\hat{j} +3\hat{k}) .( 2\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k})
\displaystyle =6.2+( -2) .( -2) +3.1
\displaystyle =12+4+3
\displaystyle =19

\displaystyle \overline{a} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{a}| =\sqrt{6^{2} +( -2)^{2} +3^{2}}
\displaystyle =\sqrt{36+4+9}
\displaystyle =\sqrt{49}
\displaystyle =7

\displaystyle \overline{b} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{b}| =\sqrt{2^{2} +( -2)^{2} +1^{2}}
\displaystyle =\sqrt{4+4+1}
\displaystyle =\sqrt{9}
\displaystyle =3

i) \displaystyle \overline{a} এর উপর \displaystyle \overline{b} এর অভিক্ষপ\displaystyle =\frac{\overline{a} .\overline{b}}{| \overline{a}| }

\displaystyle =\frac{19}{7}

ii) \displaystyle \overline{b} এর উপর \displaystyle \overline{a} এর অভিক্ষপ \displaystyle =\frac{\overline{a} .\overline{b}}{| \overline{b}| }

\displaystyle =\frac{19}{3}

১৭) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k} এবং \displaystyle \overline{b} =4\hat{i} -4\hat{j} +7\hat{k}

এখন,
\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =(\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k}) .( 4\hat{i} -4\hat{j} +7\hat{k})
\displaystyle =1.4+( -2) .( -4) +1.7
\displaystyle =4+8+7
\displaystyle =19

\displaystyle \overline{A} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{A}| =\sqrt{1^{2} +( -2)^{2} +1^{2}}
\displaystyle =\sqrt{1+4+1}
\displaystyle =\sqrt{6}

\displaystyle \overline{B} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{B}| =\sqrt{4^{2} +( -4)^{2} +7^{2}}
\displaystyle =\sqrt{16+16+49}
\displaystyle =\sqrt{81}
\displaystyle =9

i) \displaystyle \overline{A} এর উপর \displaystyle \overline{b} এর অভিক্ষপ\displaystyle =\frac{\overline{A} .\overline{B}}{| \overline{A}| }

\displaystyle =\frac{19}{\sqrt{6}}

ii) \displaystyle \overline{b} এর উপর \displaystyle \overline{a} এর অভিক্ষপ \displaystyle =\frac{\overline{A} .\overline{B}}{| \overline{B}| }

\displaystyle =\frac{19}{9}

১৮) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{P} =2\hat{i} -\hat{j} -3\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =2\hat{j} +3\hat{k}

\displaystyle =\hat{i}( -1+6) +\hat{j}( 0-6) +\hat{k}( 4-0)
\displaystyle =5\hat{i} -6\hat{j} +4\hat{k}
\displaystyle \overline{P} X\overline{Q} এর মান, \displaystyle | \overline{P} X\overline{Q}| =\sqrt{5^{2} +( -6)^{2} +4^{2}}
\displaystyle =\sqrt{25+36+16}
\displaystyle =\sqrt{77}

সুতরাং , লব্দদিকে একক ভেক্টর, \displaystyle \hat{\eta } =\frac{\overline{P} X\overline{Q}}{| \overline{P} X\overline{Q}| }
\displaystyle =\frac{5\hat{i} -6\hat{j} +4\hat{k}}{\sqrt{77}}

\displaystyle =\frac{5}{\sqrt{77}}\hat{i} -\frac{6}{\sqrt{77}}\hat{j} +\frac{4}{\sqrt{77}}\hat{k}

১) \displaystyle \overline{A} =\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k} , \displaystyle \overline{B} =3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k} হলে ,
i) \displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} এর দিককোসাইন গুলো নির্নয় কর ।
ii) \displaystyle \overline{A} .\overline{B}\displaystyle \overline{A} X\overline{B} নির্নয় কর ।
iii) \displaystyle \overline{A} এর উপর \displaystyle \overline{B} এর অভিক্ষপ এবং \displaystyle \overline{B} এর উপর \displaystyle \overline{A} এর অভিক্ষপ নির্নয় কর ।
iv) \displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} এর মধ্যবর্তী কোন নির্নয় কর ।
v) \displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} যে তলে অবস্থান করে তার লম্বদিকে একক ভেক্টর নির্নয় কর ।
vi) \displaystyle \overline{A} প্রসঙ্গ কাঠামোর অক্ষ রেখার সাথে যে কোন উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর ।
Vii) \displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} ভেক্টরদ্বয় কোনো সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করলে তার ক্ষেত্রফলের মান কত?

২) \displaystyle ( 2,3,-1) এবং \displaystyle ( -2,4,3) বিন্দুগামী রেখার উপর \displaystyle 4\hat{i} -3\hat{j} +k ভেক্টরের অভিক্ষপ নির্ণয় কর ।
৩) যদি \displaystyle \overline{A} =2\hat{i} +j-3\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k} হয়, তাহলে একটি ভেক্টর নির্ণয় কর যার মান 5 এবং এটা\displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} উভয়ের উপর লম্ব হবে ।
৪) কোনো অক্ষের সপেক্ষে ঘূর্ণনরত একটি দূঢ় বস্তুর কেীণিক বেগ \displaystyle \overline{w} =4\hat{i} +j-2\hat{k}। ঘূণর্ন অক্ষের সপেক্ষে বস্তুর উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \displaystyle 2\hat{i} +3\hat{j} +\hat{k} হলে, ঐ বিন্দুর রৈখিক বেগ নির্ণয় কর ।
৫) দেখাও যে, \displaystyle (\overline{A} +\overline{B}) .(\overline{B} X\overline{C)} X(\overline{C} +\overline{A} =2\overline{A} .\overline{B} X\overline{C}
৬) দুটি ভেক্টরের স্কেলার ও ভেক্টর গুনফলের মান যথাক্রমে \displaystyle 18\displaystyle 6\sqrt{3} হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর ।

৭) a এর মান কত হলে \displaystyle \overline{A} =a\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k}\displaystyle \overline{B} =2a\hat{i} +a\hat{j} -4\hat{k} ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে ।
৮) \displaystyle \overline{A} =4\hat{i} -4\hat{j} +7\hat{k} এর উপর \displaystyle \overline{B} =\overline{i} -2\hat{j} +\hat{k} এর অভিক্ষপ বা অংশক নির্ণয় কর ।
৯) P ও Q বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্কক \displaystyle ( 1,-2,-1)\displaystyle ( 4,3,-1) হলে \displaystyle \overline{PQ} নির্ণয় কর । প্রসঙ্গ ব্যবস্থার মূলবিন্দু 0 হলে \displaystyle \overline{OP}\displaystyle \overline{OQ} এর মধ্যবর্তি কোন নির্ণয় কর ।

১০) \displaystyle \overline{A} =2\hat{i} +3\hat{j} +4\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =\hat{i} +2\hat{j} -\hat{k}\displaystyle \overline{C} =3\hat{i} -\hat{j} +2\hat{k} ভেক্টর তিনটি কোনো সামন্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় নির্দেশ করলে উক্ত সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয় কর ।

১১) \displaystyle 2\hat{i} -\hat{j} +\hat{k} ,\ \hat{i} +2\hat{j} -3\hat{k} এবং \displaystyle 3\hat{i} +a\hat{j} +5\hat{k}, a এর মান কত হলে ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করবে ?

i) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k}
ধরি,এর দিক কোসাইন গুলো, \displaystyle l,m,n
\displaystyle \overline{A} ভেক্টরের মান , \displaystyle | \overline{A}| =\sqrt{1^{2} +2^{2} +( -2)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{1+4+4}
\displaystyle =\sqrt{9}
\displaystyle =3
than, \displaystyle l=\frac{1}{3} ,\ m=\frac{2}{3} ,\ n=\frac{-2}{3}
আবার,
\displaystyle \overline{B} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{B}| =\sqrt{3^{2} +6^{2} +( -2)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{9+36+4}
\displaystyle =\sqrt{49}
\displaystyle =7
than, \displaystyle l=\frac{3}{7} ,\ m=\frac{6}{7} ,\ n=\frac{-2}{7}

ii) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k}

এখন,
\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =(\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k}) .( 3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k})
\displaystyle =( 3+12+4)
\displaystyle =19
again now ,
\displaystyle \overline{A} X\overline{B} =\hat{i}( -4+12) +\hat{j}( -6+2) +\hat{k}( 6-6)
\displaystyle =8\hat{i} -4\hat{j}

iii) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k}
এখন,
\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =(\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k}) .( 3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k})
\displaystyle =1.3+2.6+( -2) .( -2)
\displaystyle =3+12+4
\displaystyle =19
\displaystyle \overline{A} এর মান, \displaystyle | \overline{A}| =\sqrt{1^{2} +2^{2} +( -2)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{1+4+4}
\displaystyle =\sqrt{9}
\displaystyle =3

\displaystyle \overline{B} এর মান, \displaystyle | \overline{B}| =\sqrt{3^{2} +6^{2} +( -2)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{9+36+4}
\displaystyle =\sqrt{49}
\displaystyle =7
তাহলে,
\displaystyle \overline{A} এর উপর \displaystyle \overline{B} এর অভিক্ষেপ \displaystyle =\frac{\overline{A} .\overline{B}}{| \overline{A}| }
\displaystyle =\frac{19}{3}
আবার,
\displaystyle \overline{B} এর উপর \displaystyle \overline{A} এর অভিক্ষেপ \displaystyle =\frac{\overline{A} .\overline{B}}{| \overline{B}| }
\displaystyle =\frac{19}{7}

iv) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k}
এখন,
\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =(\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k}) .( 3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k})
\displaystyle =1.3+2.6+( -2) .( -2)
\displaystyle =3+12+4
\displaystyle =19
\displaystyle \overline{A} এর মান, \displaystyle | \overline{A}| =\sqrt{1^{2} +2^{2} +( -2)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{1+4+4}
\displaystyle =\sqrt{9}
\displaystyle =3

\displaystyle \overline{B} এর মান, \displaystyle | \overline{B}| =\sqrt{3^{2} +6^{2} +( -2)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{9+36+4}
\displaystyle =\sqrt{49}
\displaystyle =7

আমরা জানি,
\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =| \overline{A}| .| \overline{B}| cos\theta
or, \displaystyle | \overline{A}| .| \overline{B}| cos\theta =\overline{A} .\overline{B}
or, \displaystyle cos\theta =\frac{\overline{A} .\overline{B}}{| \overline{A}| .| \overline{B}| }
or, \displaystyle \theta =cos^{-1}\left(\frac{19}{3.7}\right)
or, \displaystyle \theta =cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)

v) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k}
এখন,
\displaystyle \overline{A} X\overline{B} =(\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k}) X( 3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k})

\displaystyle =\hat{i}( -4+12) +\hat{j}( -6+2) +\hat{k}( 6-6)
\displaystyle =8\hat{i} -4\hat{j}

\displaystyle \overline{A} X\overline{B} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{A} X\overline{B}| =\sqrt{8^{2} +( -4)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{64+16}
\displaystyle =\sqrt{80}

সুতরাং লম্ব দিকে একক ভেক্টর \displaystyle =\frac{\overline{A} X\overline{B}}{| \overline{A} X\overline{B}| }
\displaystyle =\frac{8\hat{i} -4\hat{j}}{\sqrt{80}}

\displaystyle =\frac{8\hat{i} -4\hat{j}}{\sqrt{16} .\sqrt{5}}

\displaystyle =\frac{8\hat{i} -4\hat{j}}{4\sqrt{5}}

\displaystyle =\frac{8}{4\sqrt{5}}\hat{i} -\frac{4}{4\sqrt{5}}\hat{j}

\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{5}}\hat{i} -\frac{1}{\sqrt{5}}\hat{j}

vi) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k}

\displaystyle \overline{A} এর প্রসঙ্গ কাঠামোর \displaystyle x অক্ষের সাথে \displaystyle \alpha কোন উৎপন্ন করলে,
আমরা পাই ,
\displaystyle \overline{A} .\hat{i} =(\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k}) .\hat{i}

\displaystyle | \overline{A}| =\sqrt{1^{2} +2^{2} +( -2)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{1+4+4}
\displaystyle =\sqrt{9}
\displaystyle =3

এখন,
\displaystyle | \overline{A}| \hat{i} cos\alpha =1
or, \displaystyle 3.1cos\alpha =1
or, \displaystyle cos\alpha =\frac{1}{3}
or, \displaystyle \alpha =cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)
\displaystyle =70.52^{0}

\displaystyle \overline{A} এর প্রসঙ্গ কাঠামোর \displaystyle Y অক্ষের সাথে \displaystyle \beta কোন উৎপন্ন করলে
আমরা পাই ,
\displaystyle \overline{A} .\hat{j} =(\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k}) .\hat{j}
or, \displaystyle \beta =48.18^{0}

\displaystyle \overline{A} এর প্রসঙ্গ কাঠামোর \displaystyle Z অক্ষের সাথে \displaystyle \gamma কোন উৎপন্ন করলে
or, \displaystyle \gamma =131.81^{0}

vii) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k}

\displaystyle \overline{A} X\overline{B} =(\hat{i} +2\hat{j} -2\hat{k}) X( 3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k})

\displaystyle =\hat{i}( -4+12) +\widehat{j(} -6+2) +\hat{k}( 6-6)
\displaystyle =8\hat{i} -4\hat{j}

\displaystyle \overline{A} X\overline{B} এর মান, \displaystyle | \overline{A} X\overline{B}| =\sqrt{\ 8^{2} +( -4)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{64+16}
\displaystyle =\sqrt{80}

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \displaystyle =\frac{1}{2} .| \overline{A} X\overline{B}|
\displaystyle =\frac{1}{2} .\sqrt{80}

২) সমাধান,


প্রদত্ত বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর, \displaystyle \overline{P} =2\hat{i} +3\hat{j} -\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =-2\hat{i} +4\hat{j} +3\hat{k}

ধরি, \displaystyle \overline{PQ} =\overline{A}
তাহলে ,
\displaystyle \overline{A} =( -2-2)\hat{i} +( 4-3)\hat{j} +( 3+1)\hat{k}
\displaystyle =-4\hat{i} +\hat{j} +4\hat{k}

দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{B} =4\hat{i} -3\hat{j} +\hat{k}

\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =( -4\hat{i} +\hat{j} +4\hat{k}) .( 4\hat{i} -3\hat{j} +\hat{k})
\displaystyle =( -4) .4+1.( -3) +4.1
\displaystyle =-16-3+4
\displaystyle =-19+4
\displaystyle =-15

\displaystyle \overline{A} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{A}| =\sqrt{( -4)^{2} +1^{2} +4^{2}}
\displaystyle =\sqrt{16+1+16}
\displaystyle =\sqrt{33}

অভিক্ষেপ, \displaystyle =\frac{\overline{A} .\overline{B}}{| \overline{A}| }
\displaystyle =\frac{-15}{\sqrt{33}}

৩) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =2\hat{i} +\hat{j} -3\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k}

ধরি, \displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} উভয়ের লম্বদিকে একক ভেক্টর \displaystyle =\hat{n}

\displaystyle =\hat{i}( 1-6)\hat{i} +( -3-2)\hat{j} +( -4-1)\hat{k}
\displaystyle =-5\hat{i} -5\hat{j} -5\hat{k}

\displaystyle \overline{A} X\overline{B} এর মান \displaystyle | \overline{A} X\overline{B}| =\sqrt{( -5)^{2} +( -5)^{2} +( -5)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{25+25+25}
\displaystyle =\sqrt{75}
\displaystyle =\sqrt{25} .\sqrt{3}
\displaystyle =5.\sqrt{3}
এখন,

\displaystyle =\frac{-5\hat{i} -5\hat{j} -5\hat{k}}{5\sqrt{3}}
\displaystyle =\frac{-5(\hat{i} +\hat{j} +\hat{k})}{5\sqrt{3}}
\displaystyle =\frac{-1}{\sqrt{3}}(\hat{i} +\hat{j} +\hat{k})

\displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} উভয় ভেক্টরের উপর লম্ব \displaystyle 5 একক ভেক্টর\displaystyle =5\ \hat{n}
\displaystyle =\frac{-1}{\sqrt{3}}(\hat{i} +\hat{j} +\hat{k}) X5
\displaystyle =\frac{-5}{\sqrt{3}}(\hat{i} +\hat{j} +\hat{k}) \

৪) সমাধান,


প্রদত্ত কেীনিক বেগ, \displaystyle \overline{w} =4\hat{i} +\hat{j} -2\hat{k}
অবস্থান ভেক্টর, \displaystyle \overline{r} =2\hat{i} -3\hat{j} +\hat{k}
রেীখিক বেগ, \displaystyle \overline{v} =?
আমরা জানি,
\displaystyle \overline{v} =\overline{\omega } X\overline{r}
\displaystyle =( 4\hat{i} +\hat{j} -2\hat{k}) X( 2\hat{i} -3\hat{j} +\hat{k})

\displaystyle =\hat{i}( 1-6) -\hat{j}( 4-4) +\hat{k}( -12-2)
\displaystyle =-5\hat{i} -8\hat{j} -14\hat{k}

৫) সমাধান,


L.H.S\displaystyle =(\overline{A} +\overline{B}) .(\overline{B} +\overline{C}) X(\overline{C} +\overline{A})
\displaystyle =(\overline{A} +\overline{B}) .(\overline{B} X\overline{C} +\overline{B} X\overline{A} +\overline{C} X\overline{C} +\overline{C} X\overline{A} [ \displaystyle \overline{C} X\overline{C} =0 ]
\displaystyle =(\overline{A} +\overline{B}) .(\overline{B} X\overline{C} +\overline{B} X\overline{A} +0+\overline{C} X\overline{A}
\displaystyle =(\overline{A} +\overline{B}) .(\overline{B} X\overline{C} +\overline{B} X\overline{A} +\overline{C} X\overline{A})
\displaystyle =(\overline{A} +\overline{B}) .(\overline{B} X\overline{C} +\overline{C} X\overline{A} -\overline{A} X\overline{B})
\displaystyle =\overline{A} .\overline{B} X\overline{C} +\overline{A} .\overline{C} X\overline{A} -\overline{A} .\overline{A} X\overline{B} +\overline{B} .\overline{B} X\overline{C} +\overline{B} .\overline{C} X\overline{A} -\overline{B} .\overline{A} X\overline{B}
\displaystyle =\overline{A} .\overline{B} X\overline{C} +\overline{A} .\overline{B} X\overline{A} +\overline{C} .\overline{A} X\overline{A} -\overline{B} .\overline{A} X\overline{A} +\overline{A} .\overline{B} X\overline{C} -\overline{A} .\overline{B} X\overline{B}
\displaystyle =\overline{A} .\overline{B} X\overline{C} +0+0-0+\overline{A} .\overline{B} X\overline{C} -0
\displaystyle =\overline{A} .\overline{B} X\overline{C} +\overline{A} .\overline{B} X\overline{C}
\displaystyle =2\overline{A} .\overline{B} X\overline{C}

৬) সমাধান,


ধরি, ভেক্টর দুটি \displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} এবং এদের মধ্যবর্তী কোন \displaystyle \theta হলে ,
\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =18
\displaystyle ABcos\theta =18 —————————– (1)
এবং,
\displaystyle | \overline{A} X\overline{B}| =18\sqrt{3}
or, \displaystyle ABsin\theta =6\sqrt{3} ————————–(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) দ্বারা ভাগ করে পাই ,
\displaystyle \frac{ABsin\theta }{ABcos\theta } =\frac{6\sqrt{3}}{18}
or, \displaystyle \frac{ABsin\theta }{ABcos\theta } =\frac{\sqrt{3}}{3}
or, \displaystyle \frac{sin\theta }{cos\theta } =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} .\sqrt{3}}
or, \displaystyle \frac{sin\theta }{cos\theta } =\frac{1}{\sqrt{3}}
or, \displaystyle tan\theta =\frac{1}{\sqrt{3}}
or, \displaystyle tan\theta =tan30^{0}
সুতরাং , \displaystyle \theta =30^{0}

৭) সমাধান,


আমরা জানি,
\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =0 হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে,
দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =a\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =2a\hat{i} +a\hat{j} -4\hat{k}
বা, \displaystyle \overline{A} .\overline{B} =0
বা, \displaystyle ( a\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k}) .( 2a\hat{i} +a\hat{j} -4\hat{k}) =0
বা, \displaystyle 2a^{2} -2a-4=0
বা, \displaystyle 2a^{2} -4a+2a-4=0
বা, \displaystyle 2a( a-2) +2( a-2) =0
বা, \displaystyle ( a-2)( 2a+2) =0
সুতরাং , \displaystyle ( a-2) =0 অথবা, \displaystyle ( 2a+2) =0
বা, \displaystyle a=2 এবং, \displaystyle 2a=-2
বা, \displaystyle a=\frac{-2}{2}
বা, \displaystyle a=-1

সুতরাং এর মান a \displaystyle 2 এবং \displaystyle -1 হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে ।

৮) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =4\hat{i} -4\hat{j} +7\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k}
\displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} ভেক্টরের স্কেলার গুনন হবে , \displaystyle \overline{A} .\overline{B}

এখন,
\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =( 4\hat{i} -4\hat{j} +7\hat{k}) .(\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k})
\displaystyle =4.1+( -4) .( -2) +7.1
\displaystyle =4+8+7
\displaystyle =19

\displaystyle \overline{A} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{A}| =\sqrt{4^{2} +( -4)^{2} +7^{2}}
\displaystyle =\sqrt{16+16+49}
\displaystyle =\sqrt{81}
\displaystyle =9

\displaystyle \overline{B} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{B}| =\sqrt{1^{2} +( -2)^{2} +1^{2}}
\displaystyle =\sqrt{1+4+1}
\displaystyle =\sqrt{6}

\displaystyle \overline{A} এর \displaystyle \overline{B} ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ, \displaystyle =\frac{\overline{A} .\overline{B}}{| \overline{A}| }
\displaystyle =\frac{19}{9}

৯) সমাধান,


দেওয়া আছে,
P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর , \displaystyle \overline{P} =\hat{i} -2\hat{j} -\hat{k}
Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর , \displaystyle \overline{Q} =4\hat{i} +3\hat{j} -\hat{k}

এখন,
\displaystyle \overline{PQ} =( 4\hat{i} +3\hat{j} -\hat{k}) -(\hat{i} -2\hat{j} -\hat{k})
\displaystyle =( 4\hat{i} +3\hat{j} -\hat{k} -\hat{i} +2\hat{j} +\hat{k})
\displaystyle =3\hat{i} +5\hat{j}

\displaystyle \overline{OP} =\hat{i} -2\hat{j} -\hat{k}
\displaystyle \overline{OQ} =4\hat{i} +3\hat{j} -\hat{k}

ধরি,
\displaystyle \overline{OP} =\overline{A}
\displaystyle \overline{OQ} =\overline{B}

এবং এদের মধ্যবর্তী কোন \displaystyle \theta

\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =(\hat{i} -2\hat{j} -\hat{k}) .( 4\hat{i} +3\hat{j} -\hat{k})
\displaystyle =1.4+( -2) .3+( -1) .( -1)
\displaystyle =4-6+1
\displaystyle =5-6
\displaystyle =-1
\displaystyle \overline{A} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{A}| =\sqrt{1^{2} +( -2)^{2} +( -1)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{1+4+1}
\displaystyle =\sqrt{6}
\displaystyle \overline{B} ভেক্টরের মান, \displaystyle | \overline{B}| =\sqrt{4^{2} +3^{2} +( -1)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{16+9+1}
\displaystyle =\sqrt{26}

আমরা জানি,

\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =| \overline{A}| .| \overline{B}| cos\theta

\displaystyle | \overline{A}| .| \overline{B}| cos\theta =\overline{A} .\overline{B}

\displaystyle cos\theta =\frac{\overline{A} .\overline{B}}{| \overline{A}| .| \overline{B}| }

\displaystyle \theta =cos^{-1}\left(\frac{\overline{A} .\overline{B}}{| \overline{A}| .| \overline{B}| }\right)

\displaystyle \theta =cos^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{6} .\sqrt{26}}\right)

\displaystyle \theta =cos^{-1}\left(\frac{-1}{12.49}\right)

\displaystyle \theta =cos^{-1}( 0.08)

\displaystyle =85.41^{0}

১০) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =2\hat{i} +3\hat{j} +4\hat{k}
\displaystyle \overline{B} =\hat{i} +2\hat{j} -\hat{k}
\displaystyle \overline{C} =3\hat{i} -\hat{j} +2\hat{k}

এখানে,
\displaystyle \overline{B} X\overline{C} =(\hat{i} +2\hat{j} -\hat{k}) X( 3\hat{i} -\hat{j} +2\hat{k})

\displaystyle =\hat{i}( 4-1) +\hat{j}( -2-3) +\hat{k}( -1-6)
\displaystyle =3\hat{i} -5\hat{j} -7\hat{k}

আমরা জানি,
সমান্তরিকের আয়াতন, \displaystyle V=\overline{A} .(\overline{B} X\overline{C})
\displaystyle =( 2\hat{i} +3\hat{j} +4\hat{k}) .( 3\hat{i} -5\hat{j} -7\hat{k})
\displaystyle =2.3+3.( -5) +4.( -7)
\displaystyle =6-15-28
\displaystyle =6-43
\displaystyle =-37 ঘন একক ।

১১) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =2\hat{i} -\hat{j} +\hat{k}
\displaystyle \overline{B} =\hat{i} +2\hat{j} -3\hat{k}
\displaystyle \overline{C} =3\hat{i} +a\hat{j} +5\hat{k}

ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করবে যদি , \displaystyle \overline{A} .(\overline{B} X\overline{C}) =0 হয় ।
\displaystyle \overline{B} X\overline{C} =(\hat{i} +2\hat{j} -3\hat{k}) X( 3\hat{i} +a\hat{j} +5\hat{k})

\displaystyle =\hat{i}( 10+3a) -\hat{j}( 5+9) +\hat{k}( a-6)
\displaystyle =\hat{i}( 10+3a) -14\hat{j} +\hat{k}( a-6)

সুতরাং ,
\displaystyle \overline{A} .(\overline{B} X\overline{C}) =( 2\hat{i} -\hat{j} +\hat{k}) .\hat{i}( 10+3a) -14\hat{j} +\hat{k}( a-6)
\displaystyle =20+6a+14+a-6
\displaystyle =7a+28

প্রশ্নমতে,
\displaystyle 7a+28=0
or, \displaystyle 7a=-28
or, \displaystyle a=\frac{-28}{7}
or, \displaystyle a=-4

\displaystyle a এর মান \displaystyle -4 হলে ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করবে ।

Post Author: showrob

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

+ 36 = 43