ভেক্টর বিশ্লেষণ

ভূমিকা( Introducation)

সাধারণত বস্তু জগতে যা কিছু পরিমাপ করা যায় তাদেরকে রাশি বলা হয়  । সাধারণত রাশি সমূহ পরিমাপ করার সময় এদের দিকনির্দেশনা প্রয়োজন হতেও পারে আবার প্রয়োজন নাও হতে পারে । এই প্রয়োজনের উপর ভিত্তি করে রাশিকে দুই ভাগে ভাগ করা হয় , একটি হল স্কেলার রাশি এবং অপরটি ভেক্টর রাশি । 

রাশি( Quantity )

বস্তু জগতে যা কিছু পরিমাপ করা যায় তাকে রাশি বলে । আবার অন্যভাবে বলা যায় যে পদার্থের যে সকল ভেীত বৈশিষ্ট্য পরিমাপ করা যায় তাকে রাশি বলে  । যেমন – দৈর্ঘ(L) , ভর(M) , সরন( S) , সময়( T)  ইত্যাদি । 

রাশিকে দুই ভাগে ভাগ করা যায় : 

১) স্কেলার রাশি বা অদিক রাশি ও 

২) ভেক্টর রাশি বা দিক রাশি । 

ভেক্টর ও স্কেলার রাশি( Vactor and Scalar Quantity )

স্কেলার রাশি ( Scalar quantity ): যেসব প্রাকৃতিক রাশির শুধু মান আছে , কিন্তু দিক নেই , তাদেরকেই স্কেলার রাশি বলে । যেমন : দৈর্ঘ্য, ভর , সময়  ইত্যাদি  । 

ভেক্টর রাশি ( vector quantity) : যেসব রাশি প্রকাশের জন্য মান ও দিক উভয়ের প্রয়োজন হয় , তাদেরকে ভেক্টর  বা দিক বা সদিক রাশি বলে । যেমন:- সরন, বেগ, ত্বরন, বল , ওজন ইত্যাদি । 

স্কেলার ও ভেক্টর রাশির মধ্যে পার্থক্য ( Difference between scalar and vector quantity): 

স্কেলার রাশি : 

১) যে রাশির শুধু মানা আছে কিন্তু দিক নেই তাকে অদিক বা স্কেলার রাশি বলে । যেমন – আয়তন,  দ্রূতি , তাপমাত্রা ইত্যাদি । 

২) সাধারণত গাণিতিক নিয়মে স্কেলার রাশির যোগ, বিয়োগ বা  গুণন করা যায় । 

৩) শুধু মানের পরিবর্তনে অদিক রাশি পরিবর্তিত হয় । 

৪) দুটি স্কেলার রাশির গুণফল একটি স্কেলার রাশি হয় । 

ভেক্টর রাশি : 

১) যে রাশির মান ও  দিক উভয় আছে তাকে দিক রাশি বা ভেক্টর রাশি বলে । যেমন – অভিকর্ষজ ত্বরণ , টর্ক, ভরবেগ  ইত্যাদি । 

২) সাধারণত গাণিতিক নিয়মে দিক রাশির যোগ , বিয়োগ বা গুণন করা যায় না । 

৩) দিক রাশি তার মান ও দিক উভয়ের পরিবর্তনে পরিবর্তিত হয় । 

৪) দুটি ভেক্টর রাশির মধ্যে কোনটির মান শূন্য না হলেও এদের গুণফল শূন্য হতে পারে । 

৫) দুটি ভেক্টর রাশির গুণফল গুণনের প্রকৃতি ভেদে কখনো স্কেলার রাশি বা কখনো ভেক্টর রাশি হয় । 

দিক রাশি চেনার উপায় ( How to find the vector quantity ) : 

কোন একটি দিক রাশিকে দু’ভাবে প্রকাশ করা হয়ে থাকে ।  যথা : ক) অক্ষর দ্বারা খ) সরল রেখা দ্বারা । অক্ষর দ্বারা কোন একটি ভেক্টর রাশিকে চার ভাগে প্রকাশ করা হয় । যথা- 

ক) কোন অক্ষরের উপরতীর চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ প্রকাশ করা হয় । যেমন – A অক্ষরের ভেক্টর রুপ\displaystyle \overline{A} 

খ) কোন অক্ষরের উপর রেখা চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ প্রকাশ করা হয় । যেমন – B অক্ষরের ভেক্টর রুপ\displaystyle \overline{B}

গ) কোন অক্ষরের নিচে রেখা চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ প্রকাশ করা হয় । যেমন –  C অক্ষরের অক্ষরের ভেক্টর রুপ 

ঘ) মোটা হরফের  অক্ষর দিয়ে ভেক্টর রাশি প্রকাশ করা হয় । যেমন- D অক্ষরের ভেক্টর রুপ D । 

একক ভেক্টর বা আয়তকার একক ভেক্টর ( Single and rectangular unit Vector ) : 

একক ভেক্টর :

  যে ভেক্টরের মান এক, তাকে একক ভেক্টর বলে । মান শূন্য নয় এরূপ ভেক্টরকে ঐ ভেক্টরের মান দিয়ে ভাগ করলে উক্ত ভেক্টরের সামন্তলাল একক ভেক্টর পাওয়া যায় । যেমন- \displaystyle \overline{A} এর মান \displaystyle | \overline{A}| হলে, \displaystyle \overline{A} এর বরাবর কিংবা সমান্তরাল বরাবর একক ভেক্টর, \displaystyle \hat{a} =\frac{\overline{A}}{| \overline{A}| } যখন \displaystyle | \overline{A}| \neq 0একক ভেক্টরকে টুপি চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয় । যেমন- \displaystyle \overline{A} এর একক ভেক্টর \displaystyle \hat{a}

আয়তাকার একক ভেক্টর :

ত্রিমাত্রিক স্থানাংক ব্যবস্থা পরস্পর লম্ব তিনটি অক্ষ থাকে । যথা – X, Y এবং Z অক্ষ । X- অক্ষের দিকে একক ভেক্টর \displaystyle \hat{i} ব্যবহার করা হয় । তেমনি \displaystyle \hat{j}\displaystyle \hat{k} যথাক্রমে Y ও Z অক্ষের দিকে একক ভেক্টর \displaystyle \hat{i} ,\hat{j} এবং \displaystyle \hat{k} কে একত্রে আয়তাকার একক ভেক্টর বলে ।

অবস্থান ভেক্টর :

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে ।

চিত্রে, \displaystyle P( x,y) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \displaystyle \overline{r} =\hat{i} x+\hat{j} y
ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় অবস্থান ভেক্টর, \displaystyle \overline{r} =\hat{i} x+\hat{j} y+\hat{k} z

ভেক্টরের বিভিন্ন রূপ ( Various forms of vectors ) :

ক) নাল বা শূন্য ভেক্টর :

যে ভেক্টরের অবস্থান আছে কিন্তু মান শূন্য তাকে নাল বা শূন্য ভেক্টর বলে । শূন্য ভেক্টর এর পাদবিন্দু এবং শীর্ষবিন্দু একই ।

পরস্পর বিপরীতমুখী দুইটি সমান ভেক্টরের লব্ধি হলো নাল ভেক্টর । \displaystyle \overline{B}\displaystyle \overline{A} ভেক্টরদ্বয় সমান হলে , এদের সম্মিলিত ক্রিয়ায় নাল ভেক্টর পাওয়া যায় । যেমন-
\displaystyle \overline{B} =\overline{A}
or, \displaystyle \overline{B} -\overline{A} =0

খ) সম ভেক্টর বা সমান ভেক্টর :

একই দিকে ক্রিয়ারত দুটি সমজাতীয় ভেক্টরের মান সমান হলে তাদেরকে সম বা সমান ভেক্টর বলে ।

চিত্রে সমান দৈর্ঘ্যের দুইটি সমান্তরাল রেখায় দুটি সম ভেক্টর \displaystyle \overline{P}\displaystyle \overline{Q} কে নির্দেশ করা হয়েছে ।এখানে, \displaystyle \overline{P} =\overline{Q} হলে \displaystyle P=Q

গ) বিপরীত বা ঋণ ভেক্টর :

সমজাতীয় এবং সমমানের দুটি ভেক্টরের দিক যদি পরস্পর বিপরীত মুখী হয় তাহলে তাদের একটিকে অপরটির বিপরীত ভেক্টর বলে ।

চিত্রে \displaystyle \overline{P}\displaystyle \overline{Q} ভেক্টর একে অপরের বিপরীত ভেক্টর ।

ঘ) ভেক্টর যোগের উপাংশ :

আয়তাকার একক ভেক্টর এর মাধ্যমে ভেক্টরকে প্রকাশ করা যায় । ভেক্টরকে লম্ব উপাংশেও বিভক্ত করা যায় । একে ভেক্টর যোগের উপাংশ সূত্র বলে ।

ধরি, \displaystyle \overline{A} =A_{x}\hat{i} +A_{y}\hat{j} +A_{z}\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =B_{x}\hat{i} +B_{y}\hat{j} +B_{z}\hat{k}

উপাংশ সূত্রানুযায়ী, \displaystyle \overline{A} +\overline{B} =( A_{x} +B_{x})\hat{i} +( A_{y} +B_{y})\hat{j} +( A_{z} +B_{z})\hat{k}

এই নিয়মে ভেক্টরদ্বয়ের বিয়োগফল নির্ণয় করা হয় ।
\displaystyle \overline{A} -\overline{B} =( A_{x} -B_{x})\hat{i} +( A_{y} -B_{y})\hat{j} +( A_{z} -B_{z})\hat{k}

ঙ) স্কেলার ক্ষেত্র :

কোন একটি স্কেলার রাশিকে একটি স্থানের নির্দিষ্ট এলাকার একটি বিন্দুর অবস্থান এর অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা হয় এবং যে অঞ্চল জুড়ে ঐ রাশিটিকে বিশেষভাবে নির্দেশ করে সেই এলাকাকেই স্কেলার ক্ষেত্র বলা হয় । উদাহারন – উষ্ণতা , তড়িৎ বিভব ইত্যাদির বিন্যাস সম্বলিত ক্ষেত্রটি হল এক একটি স্কেলার ক্ষেত্র । এদের প্রত্যেকটিকে একটি অবিচ্ছিন্ন স্কেলার ফাংশন \displaystyle \phi দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

চ)ভেক্টর ক্ষেত্র:

কোন একটি ভেক্টর রাশিকে একটি স্থানে নির্দিষ্ট এলাকায় একটি বিন্দুর অবস্থান এর অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হিসেবে কাজ করা হয় এবং সে অঞ্চলজুড়ে ঐ রাশিটিকে বিশেষভাবে নির্দেশ করে সেই এলাকাকে ভেক্টর ক্ষেত্র বলে ।
উদাহারন – কোন প্রবাহিত তড়িৎ চুম্বক ক্ষেত্রের প্রাবল্যের বিন্যাস সম্মিলিত ভেক্টর ক্ষেত্রের প্রত্যেকটি বিন্দুতে একটি অবিচ্ছিন্ন ভেক্টর ফাংশন নির্দিষ্ট থাকে ।

সমস্যা-১ : \displaystyle P( 1,-2,2) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর এবং এর দিকে কিংবা সমান্তরাল দিকেে একক ভেক্টর নির্ণয় কর । ( Find the position vector of point \displaystyle P( 1,-2,2) Calculate the unit vector in its direction or parallel to the vector. )

ভেক্টরের যোগ ও বিয়োগ ( Addition and Subtraction of Vectors ) : 

যদি একই অভিমুখী দুটি ভেক্টর রাশির যোগ করতে হয় তাহলে রাশি দুটিকেও ঐ দিক নির্দেশ করতে হয় আবার যদি বিয়েগ করতে হয় তাহলে একটি ভেক্টর রাশিকে অপরটির বিপরীত দিকে নির্দেশ করতে হয় । যদি দুই বা ততোধিক ভেক্টর রাশি একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে তাহলে এদের যোগফল অপর একটি ভেক্টর নতুন ভেক্টর রাশি হবে । এই নতুন ভেক্টর রাশিকে লব্ধি বলা হয় । 

ভেক্টর রাশির যোগ সাধারণত নিম্নলিখিত চারটি সূত্রের সাহায্যে করা হয় এগুলো হলো :- 

১) সাধারণ নিয়ম ( General Law ) 

২) ত্রিভুজ সূত্র ( Law of triangle ) 

৩) বহুভুজ সূত্র ( Law of polygon ) 

৪) সামান্তরিক সূত্র ( Law of parallelogram ) 

১) সাধারণ নিয়ম :

দুটি ভেক্টরের যোগের ক্ষেত্রে একটি ভেক্টরের শীর্ষবিন্দুতে অপর ভেক্টরের পাদবিন্দু স্থাপন করে প্রথম ভেক্টরের পাদবিন্দু থেকে দ্বিতীয় ভেক্টরের শীর্ষ বিন্দু যোগ করলে  যে সরলরেখা পাওয়া যায় তার দৈর্ঘ্য ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান নির্দেশ করে । আর এই লব্ধির দিক হয় প্রথম ভেক্টরের পাদবিন্দু থেকে দ্বিতীয় ভেক্টরের শীর্ষ বিন্দুর দিকে । 

ব্যাখা: ধরা যাক , একই বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টর রাশি \displaystyle \overline{P}\displaystyle \overline{Q} এবং ধরি এদের লব্ধি \displaystyle \overline{R}

এখন AB রেখাটি \displaystyle \overline{P} ভেক্টর নির্দেশ করে এবং BC রেখাটি \displaystyle \overline{Q} ভেক্টর নির্দেশ করে ।এখন \displaystyle \overline{P} -এর আদি বিন্দু A ও \displaystyle \overline{Q} \এর শীর্ষ বিন্দু C যোগ করি । রেখাটি A হতে C অভিমুখে তীর চিহ্নিত করি । তাহলে এই তীর চিহ্নিত রেখা AC , লব্ধি \displaystyle \overline{R} নির্দেশ করবে । এখানে রাশি দুটির যোগফল নিম্ন উপায়ে প্রকাশ করা হয় – \displaystyle \overline{R} =\overline{P} +\overline{Q}

Post Author: showrob

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

6 + 1 =