ভেক্টর বিশ্লেষণ গানিতিক সমাধান নং-৩

১) \displaystyle \phi ( x,y,z) =3x^{2} y-y^{3} z^{2} হলে, \displaystyle ( 1,-2,-1) অবস্থানে \displaystyle \vartriangle .\phi বা grad\displaystyle \phi নির্ণয় কর ।
২) \displaystyle ( 1,-1,1) অবস্থানে, \displaystyle \overline{A} =x^{2} z\hat{i} -2y^{3} z^{2}\hat{j} +xy^{2} z\hat{k} ভেক্টরের ডাইভারজেন্স নির্ণয় কর ।
৩) \displaystyle \phi =2x^{3} y^{2} z^{4} হলে, \displaystyle \vartriangle .\vartriangle \phi নির্ণয় কর ।
৪) \displaystyle \overline{\vartriangle } .\overline{r} রাশির মান নির্ণয় কর ।
৫) \displaystyle ( 1,1,1) অবস্থানে , \displaystyle \overline{A} =2yz^{2}\hat{i} -yz\hat{j} +3xz^{3}\hat{k} ভেক্টরের কার্ল নির্ণয় কর ।

৬) \displaystyle \overline{A} =\left( 6xy+z^{3}\right)\hat{i} +\left( 3x^{2} -3\right)\hat{j} +\left( 3xz^{2} -y\right)\hat{k} হলে, Curl\displaystyle \overline{A} নির্ণয় কর ।
৭) দেখাও যে, \displaystyle \overline{\vartriangle } .(\overline{\vartriangle } X\overline{A}) =0

৮) \displaystyle 2\hat{i} -3\hat{j} +6\hat{k} বরাবর \displaystyle ( 2,-1,2) বিন্দুতে \displaystyle \phi =4xz^{3} -3x^{2} y^{2} z এর দিক অন্তরক বের কর ।
৯) \displaystyle \overline{\vartriangle } X\left(\frac{\overline{r}}{r^{2}}\right) নির্ণয় কর ।
১০) a এর মান কত হলে, \displaystyle \overline{V} =( x+3y)\hat{i} +( y-2z)\hat{j} +( x+az)\hat{k} ভেক্টরটি সলিনয়ডাল হবে?
১১) দেখাও যে, \displaystyle \overline{A} =5y^{2} z\hat{i} -2xz^{2}\hat{j} +x^{3} y\hat{k} ভেক্টরটি সলিয়নডাল ।

১২) \displaystyle \overline{F} =\left( y^{2} cosx+z^{3}\right)\hat{i} +( 2ysinx-4)\hat{j} +\left( 3xz^{2} +2\right)\hat{k} একটি সংরক্ষণশীল বলক্ষেত্র কিনা প্রমাণ কর ।
১৩) দেখাও যে, ভেক্টরটি \displaystyle \overline{A} অঘূর্ণনীয় যখন, \displaystyle \overline{A} =\left( y^{2} cosx+z^{3}\right)\hat{i} +( 2ysinx-4)\hat{j} +\left( 3xz^{2} +2\right)\hat{k}
১৪) বৃত্তাকার পথে \displaystyle w সমকেীণিক বেগে ঘূর্ণায়মান একটি কণার বেগ কোণো মুহূর্তের অবস্থান ভেক্টর, \displaystyle \overline{r} =\hat{i} rcoswt+\hat{j} rsinwt দ্বারা নির্দিষ্ট হলে দেখাও যে, ত্বরণ, \displaystyle \overline{a} =-w^{2}\overline{r}
১৫) \displaystyle ( 2,-2,3) অবস্থানে \displaystyle x^{2} y+2xz=4 তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।
১৬) দেখাও যে, \displaystyle \overline{\vartriangle } .\overline{\vartriangle } \phi =\vartriangle ^{2} \phi যখন, \displaystyle \phi একটা স্কেলার ক্ষেত্র নির্দেশ করে ।
১৭) যদি \displaystyle \overline{F}( x,y,z) একটি ব্যবকলীয় ভেক্টর ফাংশন হয় তবে প্রমাণ কর যে, \displaystyle \overline{\vartriangle } .(\overline{\vartriangle } X\overline{F}) =0
১৮) দেখাও যে, Curl ( \displaystyle \phi \ grad.\phi =0
১৯) দেওয়া আছে, \displaystyle \overline{A} =xz\hat{i} +2y\hat{j} -3xz\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =3xz\hat{i} +2yz\hat{j} -z^{2}\hat{k} হলে, \displaystyle ( 1,-1,2) =\overline{A} X(\overline{\vartriangle } X\overline{B})নির্নয় কর ।
২০) \displaystyle \overline{A} ধ্রুবক ভেক্টরের জন্য দেখাও যে, \displaystyle \overline{\vartriangle }(\overline{r} .\overline{A}) =\overline{A}

১) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \phi ( x,y,z) =3x^{2} y-y^{3} z^{2}
আমরা জানি,
\displaystyle \overline{\vartriangle } =\frac{\partial }{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}

এখন,
\displaystyle \overline{\vartriangle } .\phi =\left(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}\right) .\left( 3x^{2} y-y^{3} z^{2}\right)

\displaystyle =\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}\left( 3x^{2} y-y^{3} z^{2}\right) +\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}\left( 3x^{2} y-y^{3} z^{2}\right) +\hat{k}\frac{\partial }{\partial z}\left( 3x^{2} y-y^{3} z^{2}\right)

\displaystyle =\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}\left( 3x^{2} y\right) -\frac{\partial }{\partial x}\left( y^{3} z^{2}\right) +\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}\left( 3x^{2} y\right) -\frac{\partial }{\partial y}\left( y^{3} z^{2}\right) +\hat{k}\frac{\partial }{\partial z}\left( 3x^{2} y\right) -\frac{\partial }{\partial z}\left( y^{3} z^{2}\right)

\displaystyle =6xy\hat{i} +3x^{2}\hat{j} -3y^{2} z^{2}\hat{j} -2y^{3} z\hat{k}

\displaystyle =6xy\hat{i} +j\left( 3x^{2} -3y^{2} z^{2}\right) -2y^{3} z\hat{k}

\displaystyle ( 1,-2,-1) অবস্থানে, \displaystyle x=1,y=-2,z=-1 হলে,
\displaystyle \overline{\vartriangle } .\phi =\hat{i} .6.1.( -2) +\hat{j} \ \left[ \ 3.1^{2} -3.( -2)^{2} .( -1)^{2}\right] -\hat{k} .2.( -2)^{3} .( -1)
\displaystyle =-12\hat{i} +3\hat{j} -12\hat{j} -16\hat{k}
\displaystyle =-12\hat{i} -9\hat{j} -16\hat{k}

২) দেওয়া আছে,


\displaystyle \overline{A} =x^{2} z\hat{i} -2y^{3} z^{2}\hat{j} +xy^{2} z\hat{k}
আমরা জানি,
\displaystyle \overline{\vartriangle } =\frac{\partial }{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}

ডাইভারজেন্স, \displaystyle =\overline{\vartriangle } .\overline{A}
\displaystyle =\left(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}\right) .\left( x^{2} z\hat{i} -2y^{3} z^{2}\hat{j} +xy^{2} z\hat{k}\right)

\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2} z\right) -\frac{\partial }{\partial y}\left( 2y^{3} z^{2}\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( xy^{2} z\right)

\displaystyle =2xz-6y^{2} z^{2} +xy^{2}

\displaystyle ( 1,-1,1) অবস্থানে ডাইভারজেন্স বা \displaystyle \overline{\vartriangle } .\overline{A} যখন, \displaystyle x=1,y=-1,z=1

\displaystyle =2.1.1-6.( -1)^{2} .1^{2} +1.( -1)^{2}
\displaystyle =2-6+1
\displaystyle =3-6
\displaystyle =-3

৩) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \phi =2x^{3} y^{2} z^{4}
আমরা জানি,
\displaystyle \overline{\vartriangle } =\frac{\partial }{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}
এখন,
\displaystyle \overline{\vartriangle } \phi =\left(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}\right) .\left( 2x^{3} y^{2} z^{4}\right)

\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left( 2x^{3} y^{2} z^{4}\right)\hat{i} +\frac{\partial }{\partial y}\left( 2x^{3} y^{2} z^{4}\right)\hat{j} +\frac{\partial }{\partial z}\left( 2x^{3} y^{2} z^{4}\right)

\displaystyle =6x^{2} y^{2} z^{4}\hat{i} +4x^{3} yz^{4}\hat{j} +8x^{3} y^{2} z^{3}\hat{j}

সুতরাং ,

\displaystyle \overline{\vartriangle } .\overline{\vartriangle } \phi =\left(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}\right) .\left( 6x^{2} y^{2} z^{4}\hat{i} +4x^{3} yz^{4}\hat{j} +8x^{3} y^{2} z^{3}\hat{k}\right)

\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left( 6x^{2} y^{2} z^{4}\right) +\frac{\partial }{\partial y}\left( 4x^{3} yz^{4}\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( 8x^{3} y^{2} z^{3}\right)

\displaystyle =12xy^{2} z^{4} +4x^{3} z^{4} +24x^{3} y^{2} z^{2}

৪) সমাধান,


আমরা জানি,
\displaystyle \overline{\vartriangle } =\frac{\partial }{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}

\displaystyle \overline{r} =x\hat{i} +y\hat{j} +z\hat{k}
এখন,
\displaystyle \overline{\vartriangle } .\overline{r} =\left(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}\right) .( x\hat{i} +y\hat{j} +z\hat{k})

\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}( x) +\frac{\partial }{\partial y}( y) +\frac{\partial }{\partial z}( z)

\displaystyle =1+1+1
\displaystyle =3

৫) সমাধান,


\displaystyle \overline{A} =2yz^{2}\hat{i} -yz\hat{j} +3xz^{3}\hat{k}

আমরা জানি,
\displaystyle \overline{\vartriangle } =\frac{\partial }{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}

ভেক্টরদ্বয়ের কার্ল হলো, \displaystyle \overline{\vartriangle } X\overline{A}
\displaystyle =\left(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}\right) X\left( 2yz^{2}\hat{i} -yz\hat{j} +3xz^{3}\hat{k}\right)

\displaystyle =\hat{i}( 0-y) -\hat{j}\left( 3z^{3} -4yz\right) +\hat{k}\left( 0-2z^{2}\right)
\displaystyle =y\hat{i} -\hat{j}\left( 3z^{3} -4yz\right) -\hat{k}\left( 2z^{2}\right)

\displaystyle ( 1,1,1) অবস্থানে \displaystyle \overline{\vartriangle } X\overline{A} যখন, \displaystyle x=1,y=1,z=1 হবে ।

\displaystyle =1.\hat{i} -\hat{j} \ \left[ 3.1^{3} -4.1.1\right] -\hat{k} .2.1^{2}

\displaystyle =\hat{i} -3\hat{j} +4\hat{j} -2\hat{k}

\displaystyle =\hat{i} +\hat{j} -2\hat{k}

১) দেখাও যে, \displaystyle \overline{\vartriangle } X\overline{r} =0
২) দেখাও যে, \displaystyle \overline{\vartriangle } .r^{3} =2r\overline{r}
৩) দেখাও যে, \displaystyle \vartriangle ^{2}\left(\frac{1}{r}\right) =0
৪) দেখাও যে, \displaystyle \overline{\vartriangle } .\left(\frac{\overline{r}}{r^{3}}\right) =0
৫) প্রমান কর যে, \displaystyle \vartriangle ^{2} logr=\frac{1}{r^{2}}
৬) দেখাও যে, \displaystyle \overline{\vartriangle } .\left(\frac{1}{r}\right) =-\frac{\overline{r}}{r^{3}}
৭) দেখাও যে, \displaystyle (\overline{\vartriangle } .\overline{V})\overline{r} =\overline{V}
৮) একটি অনড় বস্ত \displaystyle \overline{w} সমকেীনিক বেগে একটি অক্ষরেখার চতুর্দিকে ঘুরছে,উহার রৈখিক বেগ \displaystyle \overline{V} এবং \displaystyle \overline{V} =\overline{w} X\overline{r} হলে দেখাও যে, i) \displaystyle \overline{\vartriangle } .\overline{V} =0 এবং ii) \displaystyle \overline{\vartriangle } X\overline{V} =2w
৯) \displaystyle \overline{A}( x,y,z) একটি ব্যবকলন উপযোগী ভেক্টর ক্ষেত্র হইলে প্রমাণ কর যে, \displaystyle \overline{\vartriangle } .(\overline{\vartriangle } X\overline{A}) =0
১০) \displaystyle \overline{A} একটি ধ্রূব ভেক্টর এবং \displaystyle \overline{r} অবস্থান ভেক্টর হলে দেখাও যে, i) \displaystyle \overline{\vartriangle }(\overline{A} .\overline{r}) =\overline{A} ii) \displaystyle \overline{\vartriangle } X(\overline{A} X\overline{r}) =2\overline{A}
১১) দেখাও যে, \displaystyle \overline{F} =\left( 2x^{2} y+3z^{3} x^{2}\right)\hat{i} +\frac{2}{3} x^{3}\hat{j} +3x^{3} z^{2}\hat{k} একটি সংরক্ষণশীল বলক্ষেত্র নির্দেশ করে ।

Post Author: showrob

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

57 − 51 =