ভেক্টর বিশ্লেষণ গানিকিত সমাধান নং-৬

১) যদি \displaystyle | \overline{a} +\overline{b}| =| \overline{a} -\overline{b}| হয় তবে দেখাও যে, \displaystyle \overline{a} ভেক্টরটি \displaystyle \overline{b} এর উপর লম্ব ।
২) \displaystyle \overline{a} =\hat{i} +2\hat{j} -3\hat{k} এবং \displaystyle \overline{b} =4\hat{i} -3\hat{k} ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর ।
৩) \displaystyle \overline{a} =2\hat{i} -3\hat{j} -\hat{k} ভেক্টরের \displaystyle \overline{b} =\hat{i} +4\hat{j} -3\hat{k} ভেক্টরের উপর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর ।
৪) \displaystyle \hat{a} এবং \displaystyle \hat{b} একক ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হলে \displaystyle \theta দেখাও যে , \displaystyle sin\frac{\theta }{2} =\frac{1}{2}| \hat{a} -\hat{b}|
৫) \displaystyle \overline{A} =2\hat{i} -6\hat{j} -3\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =4\hat{i} +3\hat{j} -\hat{k} ভেক্টদ্বয়ের তলের উপর একক লম্ব ভেক্টর নির্ণয় কর ।
৬) \displaystyle \hat{i} +2\hat{j} +3\hat{k} এবং \displaystyle 5\hat{i} -\hat{j} +2\hat{k} ভেক্টরদ্বয়ের উপর লম্ব একক ভেক্টর এবং মধ্যবর্তী কোণের সাইন নির্ণয় কর ।
৭) যদি \displaystyle -\hat{i} +\lambda \hat{j} +\hat{k} এবং \displaystyle 2\hat{i} +3\hat{j} -\hat{k} ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হয় তবে \displaystyle \lambda এর মান কত ।
৮) \displaystyle \overline{a} =2\hat{i} +\hat{j} -2\hat{k} এবং \displaystyle \overline{b} =6\hat{i} +2\hat{j} +3\hat{k} ভেক্টরদ্বয়ের অন্তভূক্ত কোন নির্ণয় কর ।
৯) দেখাও যে, \displaystyle | \overline{A} X\overline{B}| ^{2} =+| \overline{A} .\overline{B}| ^{2} =| \overline{A}| ^{2} .| \overline{B}| ^{2}
১০) দেখাও যে, \displaystyle (\overline{a} X\overline{b}) =a^{2} b^{2} -(\overline{a} X\overline{b})^{2} x\overline{a} =\overline{b} হলে , \displaystyle x এর মান নির্ণয় কর ।

১) দেখাও যে, \displaystyle \overline{a} X(\overline{b} +\overline{c}) +\overline{b} X(\overline{c} +\overline{b}) +\overline{c} X(\overline{a} +\overline{b}) =0
2) \displaystyle \phi =xy+2yz+3xz হয় তাহলে, \displaystyle grad\phi বের কর ।
৩) যদি, \displaystyle \overline{V} =2x^{2} z\hat{i} -xy^{2} z\hat{j} +3yz^{2}\hat{k} হয় তাহলে , \displaystyle ( 2,-1,3) বিন্দুতে \displaystyle div\overline{V} নির্ণয় কর ।
৪) যদি , \displaystyle \overline{V} =xy^{2}\hat{i} -2xyz\hat{j} +z^{2} x^{2} k হয় তাহলে \displaystyle curl\overline{V} নির্ণয় কর ।
৫) যদি, \displaystyle \overline{A} =x^{3} z\hat{i} -2xy^{2} z\hat{j} +2yz^{3} তাহলে \displaystyle curl\overline{A} নির্ণয় কর \displaystyle ( 1,-1,1) বিন্দুতে ।
৬) দেখাও যে, \displaystyle \overline{\triangledown } .(\overline{A} +\overline{B}) =\overline{\triangledown } .\overline{A} +\overline{\triangledown } .\overline{B}
৭) দেখাও যে, \displaystyle \overline{\triangledown } .(\overline{\triangledown } \phi ) =\triangledown ^{2} \phi =\frac{\delta ^{2} \phi }{\delta x^{2}} +\frac{\delta ^{2} \phi }{\delta y^{2}} +\frac{\delta ^{2} \phi }{\delta z^{2}}
৮) দেখাও যে, \displaystyle ( \phi \overline{A}) =\overline{\triangledown } \phi .\overline{A} +\phi (\overline{\triangledown } .\overline{A})
৯) দেখাও যে, \displaystyle curl\ grad\phi =0
১০) \displaystyle \overline{A} =x^{2} y\hat{i} -2xz\hat{j} +2yz\hat{k} হলে \displaystyle curl\ curl\overline{A} বা \displaystyle \overline{\triangledown } X(\overline{\triangledown } X\overline{A}) এর মান নির্ণয় কর ।

১) দেখাও যে, \displaystyle div\ curl\overline{A} =0
২) যদি \displaystyle \phi =2xy^{4} -x^{2} z হয় তবে, \displaystyle ( 2,-1,2) বিন্দুতে \displaystyle \overline{\triangledown } \phi নির্ণয় কর ।
৩) যদি \displaystyle \overline{F} =\left( 3x^{2} y-z\right)\hat{i} +\left( xz^{3} +y^{4}\right)\hat{j} -2x^{3} z^{2}\hat{k} হয় তবে \displaystyle ( 2,-1,0) বিন্দুতে \displaystyle grad( divF) বা \displaystyle \overline{\triangledown }(\overline{\triangledown } .\overline{F}) নির্ণয় কর ।
৪) প্রমান কর যে, \displaystyle \overline{\triangledown } .\overline{\triangledown } \phi =\triangledown ^{2} \phi
৫) প্রমান কর যে, \displaystyle \overline{\triangledown } .r=3
৬) যদি \displaystyle \overline{A} =x^{3} z\hat{i} -2y^{3} z^{2}\hat{j} +xy^{2} z^{2}\hat{k} হয় তবে, \displaystyle ( 1,2,-3) বিন্দুতে \displaystyle \overline{\triangledown } .\overline{A} নির্ণয় কর ।
৭) \displaystyle \overline{A} =zx^{3}\hat{i} -2x^{2} yz\hat{j} +2yz^{4}\hat{k} হলে, \displaystyle \overline{\triangledown } X\overline{A} নির্ণয় কর ।
৮) প্রমাণ কর যে, \displaystyle \overline{\triangledown } .\overline{\triangledown } =\frac{\overline{r}}{r} =2r^{-3} .\overline{r}
৯) \displaystyle curl\overline{F} নির্ণয় কর, \displaystyle \overline{F} =\left( xy,xy^{2} ,yx^{3}\right)

Post Author: showrob

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

28 ÷ = 4