ভেক্টরের সমাধান

১) \displaystyle 8 একক এবং \displaystyle 4 একক মানের দুটি সদিক রাশির মধ্যকার কোন \displaystyle 120^{0} । রাশি দুটির লব্ধির মান বের কর ।
২) দুটি ভেক্টর রাশির প্রত্যেকটির মান \displaystyle 10 একক । রাশিদ্বয় একই বিন্দুতে পরস্পরের সাথে \displaystyle 120^{0} কোনে ক্রিয়া করে । এদের লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর ।
৩) ৩) দুটি সদিক রাশির মান ও দিক যথাক্রমে \displaystyle 10 একক ও \displaystyle 15 একক । এরা একই বিন্দুতে ক্রিয়াশিল । লব্ধির দিক ও মান নির্ণয় কর । যথন এরা কোনে এবং যখন এরা একই সরলরেখা বরাবর বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল ।
৪) দুটি ভেক্টর রাশির প্রত্যেকের মান \displaystyle 7 একক । এরা এক বিন্দুতে পরস্পরের সাথে \displaystyle 120 কোনে কাজ করে । লব্ধির মান বের কর ।
৫) বাতাস দক্ষিন-পূর্ব দিকের মধ্যদিয়ে প্রবাহিত হচ্ছে । এর বেগের দক্ষিনমুখী অংশের মান \displaystyle 8 মাইল / ঘন্টা । এবং পূর্বমুখী অংশের মান \displaystyle 6 মাইল/ঘন্টা । বাতাসের লব্ধি বেগ বের কর ।
৬) যদি \displaystyle \overline{A} =4\hat{i} +3\hat{j} -4\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =8\hat{i} -2\hat{j} -3\hat{k} হয় , তবে \displaystyle \overline{A} .\overline{B} এর মান নির্ণয় কর ।
৭) \displaystyle \overline{A} =2\hat{i} -\hat{j} +2\hat{k} দিক রাশিটির সমান্তরাল একটি দিক রাশি বা একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।
৮) দেওয়া আছে , \displaystyle \overline{A} =9\hat{i} +\hat{j} -6\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =4\hat{i} -6\hat{j} +5\hat{k} রাশিদ্বয়ের স্কেলার গুনফল নির্ণয় কর এবং দেখাও যে , এরা পরস্পর লম্ব ।
৯) \displaystyle \overline{A} =3\hat{i} -7\hat{j} +3\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =5\hat{i} +3\hat{j} +2\hat{k} দুইটি ভেক্টর রাশি । দেখাও যে, এরা পরস্পর লম্ব ।
১০) \displaystyle \overline{a} =3\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =4\hat{i} +3\hat{j} -6\hat{k} দুটি দিক রাশি । দেখাও যে,এরা পরস্পর লম্ব ।

১) সমাধান,


মনে করি , লব্ধির মান \displaystyle =R
সামান্তরিকের সূত্র হতে আমরা পাই ,
\displaystyle R=\sqrt{P^{2} +Q^{2} +2PQ\ Cos\alpha }

এখানে , দেওয়া আছে ,
\displaystyle P=8 একক
\displaystyle Q=4 একক
রাশিদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোন, \displaystyle \alpha =120^{0}
সুতরাং, \displaystyle R=\sqrt{8^{2} +4^{2} +2.8.4Cos120^{0}}
\displaystyle =\sqrt{64+16+64.\left(\frac{-1}{2}\right)} [ সুতরাং ,আমরা জানি, \displaystyle Cos120^{0} =\frac{-1}{2} ]

\displaystyle =\sqrt{64+16-32}
\displaystyle =\sqrt{48}
\displaystyle =\sqrt{16.3}
\displaystyle =\sqrt{16} .\sqrt{3}
\displaystyle =4.\sqrt{3} একক

রাশিদ্বয়ের লব্ধির মান, \displaystyle 4.\sqrt{3} একক ।

২) সমাধান,


মনে করি , লব্ধির মান \displaystyle =R
সামান্তরিকের সূত্র হতে আমরা পাই ,
\displaystyle R=\sqrt{P^{2} +Q^{2} +2PQ\ Cos\alpha }

এখানে , দেওয়া আছে ,
\displaystyle P=10 একক
\displaystyle Q=10 একক
রাশিদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোন, \displaystyle \alpha =120^{0}
সুতরাং, \displaystyle R=\sqrt{10^{2} +10^{2} +2.10.10\ Cos120^{0}}
\displaystyle =\sqrt{100+100+200.\left(\frac{-1}{2}\right)} [ সুতরাং ,আমরা জানি, \displaystyle Cos120^{0} =\frac{-1}{2} ]

\displaystyle =\sqrt{200-100}
\displaystyle =\sqrt{100}
\displaystyle =10 একক
আবার, \displaystyle R , \displaystyle P এর সাথে \displaystyle \theta উৎপন্ন করলে সূত্রানুসারে,

\displaystyle tan\theta =\frac{Q\ sin\alpha }{P+Q\ cos\alpha }

বা, \displaystyle tan\theta =\frac{10.sin120^{0}}{10+10\ cos120^{0}}

বা, \displaystyle tan\theta =\frac{10.\frac{\sqrt{3}}{2}}{10+10\ \left(\frac{-1}{2}\right)} [ আমরা জানি, \displaystyle sin120^{0} =\frac{\sqrt{3}}{2}\displaystyle cos120^{0} =\frac{-1}{2} ]

বা, \displaystyle tan\theta =\frac{5\sqrt{3}}{10-5}

বা, \displaystyle tan\theta =\frac{5\sqrt{3}}{5}

বা, \displaystyle tan\theta =\sqrt{3} \displaystyle =tan60^{0}

\displaystyle \theta =60^{0}

সুতরাং , লব্ধির মান \displaystyle 10 একক এবং দিক যে কোন একটি রাশির সাথে \displaystyle 60^{0} কোনে ।

৩) সমাধান,


মনে করি , লব্ধির মান \displaystyle =R
সামান্তরিকের সূত্র হতে আমরা পাই ,
\displaystyle R=\sqrt{P^{2} +Q^{2} +2PQ\ Cos\alpha }

এখানে , দেওয়া আছে ,
\displaystyle P=10 একক
\displaystyle Q=15 একক
রাশিদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোন, \displaystyle \alpha =60^{0}
সুতরাং, \displaystyle R=\sqrt{10^{2} +15^{2} +2.10.15\ Cos60^{0}}
\displaystyle =\sqrt{100+225+300.\left(\frac{1}{2}\right)} [ সুতরাং ,আমরা জানি, \displaystyle Cos60^{0} =\frac{1}{2} ]

\displaystyle =\sqrt{200+225+150}
\displaystyle =\sqrt{475}
\displaystyle =\sqrt{25.19} একক
\displaystyle =\sqrt{25} .\sqrt{19} একক

সূত্রানুসারে, লব্ধির দিক,

\displaystyle tan\theta =\frac{Q\ sin\alpha }{P+Q\ cos\alpha }

বা, \displaystyle tan\theta =\frac{15.sin60^{0}}{10+15\ cos60^{0}}

বা, \displaystyle tan\theta =\frac{15.\frac{\sqrt{3}}{2}}{10+15\ \left(\frac{1}{2}\right)} [ আমরা জানি, \displaystyle sin60^{0} =\frac{\sqrt{3}}{2}\displaystyle cos60^{0} =\frac{1}{2} ]
বা, \displaystyle tan\theta =\frac{\frac{15\sqrt{3}}{2}}{\frac{20+15}{2}}
বা, \displaystyle tan\theta =\frac{\frac{15\sqrt{3}}{2}}{\frac{35}{2}}
বা,\displaystyle tan\theta =\frac{15\sqrt{3}}{2} X\frac{2}{35}
বা,\displaystyle tan\theta =\frac{3\sqrt{3}}{7}
বা, \displaystyle \theta =tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{7}\right)
বা, \displaystyle \theta =36^{0} .59

৪) সমাধান,


মনে করি , লব্ধির মান \displaystyle =R
সামান্তরিকের সূত্র হতে আমরা পাই ,
\displaystyle R=\sqrt{P^{2} +Q^{2} +2PQ\ Cos\alpha }

এখানে , দেওয়া আছে ,
\displaystyle P=7 একক
\displaystyle Q=7 একক
রাশিদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোন, \displaystyle \alpha =120^{0}
সুতরাং, \displaystyle R=\sqrt{7^{2} +7^{2} +2.7.7\ Cos120^{0}}
\displaystyle =\sqrt{49+49+2.49\left(\frac{-1}{2}\right)} [ সুতরাং ,আমরা জানি, \displaystyle Cos120^{0} =\frac{-1}{2} ]

\displaystyle =\sqrt{49+49-49}
\displaystyle =\sqrt{49}
\displaystyle =7 একক

অতএব, লব্ধির মান \displaystyle 7 একক ।

৫) সমাধান,


মনে করি , লব্ধির মান \displaystyle =R
সামান্তরিকের সূত্র হতে আমরা পাই ,
\displaystyle R=\sqrt{P^{2} +Q^{2} +2PQ\ Cos\alpha }

এখানে , দেওয়া আছে ,
\displaystyle P=8 মাইল/ঘন্টা ( দক্ষিনমুখী )
\displaystyle Q=6 মাইল/ ঘন্টা ( পূর্বমুখী )
রাশিদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোন, \displaystyle \alpha =90^{0}
সুতরাং, \displaystyle R=\sqrt{8^{2} +6^{2} +2.8.6\ Cos90^{0}}
\displaystyle =\sqrt{64+36+96.0} [ সুতরাং ,আমরা জানি, \displaystyle Cos90^{0} =0 ]

\displaystyle =\sqrt{100}

\displaystyle =10 মাইল/ঘন্টা

অতএব, লব্ধির মান \displaystyle 10 মাইল/ঘন্টা ।

৬) সমাধান,


আমরা জানি,
\displaystyle \overline{A} =A_{x}\hat{i} +A_{y}\hat{j} +A_{z}\hat{k} এবং
\displaystyle \overline{B} =B_{x}\hat{i} +B_{y}\hat{j} +B_{z}\hat{k} হলে,
\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =A_{x} B_{x} +A_{y} B_{y} +A_{z} B_{z} হবে ।

দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =4\hat{i} +3\hat{j} -4\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =8\hat{i} -2\hat{j} -3\hat{k}

এখন,
\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =4.8+3.( -2) +( -4) .( -3)
\displaystyle =32-6+12
\displaystyle =44-6
\displaystyle =38 একক ।

সুতরাং \displaystyle \overline{A} .\overline{B} এর মান \displaystyle 38 একক ।

৭) সমাধান,


আমরা জানি,
\displaystyle \overline{A} ভেক্টরের সমান্তরাল একক দিক রাশি হলো , \displaystyle =\frac{\overline{A}}{| \overline{A}| }
\displaystyle =\frac{A_{x}\hat{i} +A_{y}\hat{j} +A_{z}\hat{k}}{\sqrt{A^{2}<em>{x} +A^{2}</em>{y} +A^{2}_{z}}}

দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =2\hat{i} -\hat{j} +2\hat{k}

\displaystyle \overline{A} ভেক্টরের মান\displaystyle | \overline{A}| =\sqrt{2^{2} +( -1)^{2} +2^{2}}
\displaystyle =\sqrt{4+1+4}
\displaystyle =\sqrt{9}
\displaystyle =3

এখন,
\displaystyle \overline{A} রাশির সামান্তরাল একক ভেক্টর, \displaystyle =\frac{\overline{A}}{| \overline{A}| }
\displaystyle =\frac{2\hat{i} -\hat{j} +2\hat{k}}{3}

\displaystyle =\frac{2}{3}\hat{i} -\frac{1}{3}\hat{j} +\frac{2}{3}\hat{k}

সুতরাং, \displaystyle \overline{A} রাশির সামান্তরাল একক ভেক্টর, \displaystyle \frac{2}{3}\hat{i} -\frac{1}{3}\hat{j} +\frac{2}{3}\hat{k}

৮) সমাধান,


আমরা জানি,
\displaystyle \overline{A} =A_{x}\hat{i} +A_{y}\hat{j} +A_{z}\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =B_{x}\hat{i} +B_{y}\hat{j} +B_{z}\hat{k}
হলে , তাদের স্কেলার গুনন
দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =9\hat{i} +\hat{j} -6\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =4\hat{i} -6\hat{j} +5\hat{k}

এখানে,
\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =( 9\hat{i} +\hat{j} -6\hat{k}) .( 4\hat{i} -6\hat{j} +5\hat{k})
\displaystyle =9.4+1.( -6) +( -6) .5
\displaystyle =36-6-30
\displaystyle =36-36
\displaystyle =0

সুতরাং , \displaystyle \overline{A} .\overline{B} =0 অর্থাৎ \displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} পরস্পর লম্ব ।
অতএব, \displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} এর স্কেলার গুনফল \displaystyle 0 এবং এরা পরস্পর লম্ব ।

৯) সমাধান,


আমরা জানি,
\displaystyle \overline{A} =A_{x}\hat{i} +A_{y}\hat{j} +A_{z}\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =B_{x}\hat{i} +B_{y}\hat{j} +B_{z}\hat{k}
হলে , তাদের স্কেলার গুনন
দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =3\hat{i} -7\hat{j} +3\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =5\hat{i} +3\hat{j} +2\hat{k}

এখানে,
\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =( 3\hat{i} -7\hat{j} +3\hat{k}) .( 5\hat{i} +3\hat{j} +2\hat{k})
\displaystyle =3.5+( -7) .3+3.2
\displaystyle =15-21+6
\displaystyle =21-21
\displaystyle =0

সুতরাং , \displaystyle \overline{A} .\overline{B} =0 অর্থাৎ \displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} পরস্পর লম্ব ।
অতএব, \displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} এর স্কেলার গুনফল \displaystyle 0 এবং এরা পরস্পর লম্ব ।

১০) সমাধান,


আমরা জানি,
\displaystyle \overline{A} =A_{x}\hat{i} +A_{y}\hat{j} +A_{z}\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =B_{x}\hat{i} +B_{y}\hat{j} +B_{z}\hat{k}
হল , তাদের স্কেলার গুনন
দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =3\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =4\hat{i} +3\hat{j} -6\hat{k}

এখানে,
\displaystyle \overline{A} .\overline{B} =( 3\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k}) .( 4\hat{i} +3\hat{j} -6\hat{k})
\displaystyle =3.4+( -2) .3+1.( -6)
\displaystyle =12-6-6
\displaystyle =12-12
\displaystyle =0
সুতরাং , \displaystyle \overline{A} .\overline{B} =0 অর্থাৎ \displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} পরস্পর লম্ব ।
অতএব, \displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} এর স্কেলার গুনফল \displaystyle 0 এবং এরা পরস্পর লম্ব ।

১) যদি \displaystyle \overline{P} =3\hat{i} -2\hat{k} +\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =2\hat{i} +\hat{j} -a\hat{k} দুইটি ভেক্টরের রাশি পরস্পর লম্ব হবে, তবে \displaystyle a এর মান বের কর ।
২) প্রমান কর যে, \displaystyle \overline{P} =\hat{i} +\hat{j} +\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =5\hat{i} +5\hat{j} +5\hat{k} দুইটি দিক রাশি । দেখাও যে, এরা পরস্পর সমান্তরাল ।
৩) দেখাও যে, \displaystyle \overline{P} =\hat{i} +\hat{j} +\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =4\hat{i} +4\hat{j} +4\hat{k} ভেক্টরের দুইটি পরস্পর সমান্তরাল ।
৪) \displaystyle \overline{A} =2\hat{i} +4\hat{j} -5\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =\hat{i} +2\hat{j} +3\hat{k} ; \displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} এর লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।
৫) একই সময়ে একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুটি ভেক্টরের মান সমান । দেখাও যে, এদের লব্ধি মধ্যবর্তী কোনকে সমদ্বিখন্ডিত ।

১ ) সমাধান,


আমরা জানি,
\displaystyle \overline{P} =A_{x}\hat{i} +A_{y}\hat{j} +A_{z}\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =B_{x}\hat{i} +B_{y}\hat{j} +B_{z}\hat{k}
\displaystyle \overline{P}\displaystyle \overline{Q} পরস্পর লম্ব হলে , \displaystyle \overline{P} .\overline{Q} =0 হবে ।

দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{P} =3\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k} এবং \displaystyle \overline{Q} =2\hat{i} +\hat{j} -a\hat{k}

এখানে,
\displaystyle \overline{P} .\overline{Q} =( 3\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k}) .( 2\hat{i} +\hat{j} -a\hat{k})
\displaystyle =3.2+( -2) .1+1.( -a)
\displaystyle =6-2-a
\displaystyle =4-a

সুতরাং , \displaystyle 4-a=0
বা, \displaystyle -a=-4
বা, \displaystyle a=4

ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে, যদি \displaystyle a এর মান \displaystyle 4 হয় ।

২) সমাধান,


আমরা জানি,
\displaystyle \overline{P}\displaystyle \overline{Q} পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি এদের \displaystyle \overline{P} X\overline{Q} =0 হয় ।
দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{P} =\hat{i} +\hat{j} +\hat{k} \displaystyle \overline{Q} =5\hat{i} +5\hat{j} +5\hat{k}

এখানে,
\displaystyle \overline{P} X\overline{Q} =(\hat{i} +\hat{j} +\hat{k}) X( 5\hat{i} +5\hat{j} +5\hat{k})

\displaystyle =( 5-5) +( 5-5) +( 5-5)
\displaystyle =0+0+0
\displaystyle =0
সুতরাং, \displaystyle \overline{P} X\overline{Q} =0 সেহেতু, \displaystyle \overline{P}\displaystyle \overline{Q} পরস্পর সমান্তরাল ।

৩) সমাধান,


আমরা জানি,
\displaystyle \overline{P}\displaystyle \overline{Q} পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি এদের \displaystyle \overline{P} X\overline{Q} =0 হয় ।
দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{P} =\hat{i} +\hat{j} +\hat{k} \displaystyle \overline{Q} =4\hat{i} +4\hat{j} +4\hat{k}

এখানে,
\displaystyle \overline{P} X\overline{Q} =(\hat{i} +\hat{j} +\hat{k}) X( 4\hat{i} +4\hat{j} +4\hat{k})

\displaystyle =( 4-4) +( 4-4) +( 4-4)
\displaystyle =0+0+0
\displaystyle =0
সুতরাং, \displaystyle \overline{P} X\overline{Q} =0 সেহেতু, \displaystyle \overline{P}\displaystyle \overline{Q} পরস্পর সমান্তরাল ।

৪) সমাধান,


দেওয়া আছে,
\displaystyle \overline{A} =2\hat{i} +4\hat{j} -5\hat{k} এবং \displaystyle \overline{B} =\hat{i} +2\hat{j} +3\hat{k}
আমরা জানি ,
লব্ধি , \displaystyle \overline{R} =\overline{A} +\overline{B}
\displaystyle =( 2\hat{i} +4\hat{j} -5\hat{k}) +(\hat{i} +2\hat{j} +3\hat{k})
\displaystyle =2\hat{i} +4\hat{j} -5\hat{k} +\hat{i} +2\hat{j} +3\hat{k}
\displaystyle =3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k}
again,
\displaystyle \overline{R} এর মান, \displaystyle | \overline{R}| =\sqrt{3^{2} +6^{2} +( -2)^{2}}
\displaystyle =\sqrt{9+36+4}
\displaystyle =\sqrt{49}
\displaystyle =7

আবার,আমরা জানি,
\displaystyle \overline{R} রাশির সমান্তরাল একক ভেক্টর , \displaystyle =\frac{\overline{R}}{| \overline{R}| }

\displaystyle =\frac{3\hat{i} +6\hat{j} -2\hat{k}}{7}

\displaystyle =\frac{3}{7}\hat{i} +\frac{6}{7}\hat{j} -\frac{2}{7}\hat{k} একক ।

সুতরাং , লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরায় একক ভেক্টর \displaystyle \frac{3}{7}\hat{i} +\frac{6}{7}\hat{j} -\frac{2}{7}\hat{k} একক ।

৫) সমাধান,


মনে করি, একই বিন্দুতে ( O) চিত্রানুযায়ী দুটি সমান মানের ভেক্টর \displaystyle \overline{P}\displaystyle \overline{P} একই সময়ে ক্রিয়ারত । সুতরাং লব্ধি \displaystyle \overline{R} ,\ OB বরাবর হবে ।
ধরি, \displaystyle < AOC=\alpha এবং
লব্ধি \displaystyle \overline{R} ,\overline{OA} এর সাথে \displaystyle \theta কোন তৈরী করে ।

সুতরাং \displaystyle tan\theta =\frac{Psin\alpha }{P+Pcos\alpha }
\displaystyle =\frac{sin\alpha }{1+cos\alpha }
\displaystyle =\frac{2sin\frac{\alpha }{2} .cos\frac{\alpha }{2}}{2cos^{2}\frac{\alpha }{2}}
\displaystyle =\frac{sin\frac{\alpha }{2}}{cos\frac{\alpha }{2}}
\displaystyle =tan\frac{\alpha }{2}
\displaystyle or,\ tan\theta =tan\frac{\alpha }{2}
সুতরাং , \displaystyle \theta =\frac{\alpha }{2}

সুতরাং লব্ধি ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোন \displaystyle \alpha কে সমদ্বিখন্ডিত করে।

Post Author: showrob

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

8 × 1 =