ভেক্টর বিশ্লেষণ অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নোত্তর উত্তর: – ৩

১) ভেক্টর অপারেটর বলতে কি বুঝ ?

উত্তর : ভেক্টর অপারেটর ডেল \displaystyle \triangledown লিখে প্রকাশ করা হয় এবং নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত করা যায় ।
\displaystyle \triangledown =\frac{\partial }{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{z}
\displaystyle \triangledown কোন ভেক্টর নয় । কিন্তু তা সাধারণ ভেক্টরের সকল গুণাবলী প্রকাশ করে । বাস্তব ক্ষেত্রে তিনটি রাশি যথা – নতিমাত্র ( Gradient ), অপসারিতা(Divergence ) ও কার্ল ( Curl) নির্ণয়ে \displaystyle \triangledown গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে । অপারেটর কে নাবলা ( Nabla ) ও বলা হয়ে থাকে।

২) ভেক্টরের স্কেলার গুণনের ব্যবকলন সূত্র লেখ ?

উত্তর : যদি \displaystyle \overline{A}\displaystyle \overline{B} যে কোন দুটি ভেক্টর স্কেলার \displaystyle u এর সাপেক্ষে ব্যবকলনযোগ্য হয় তবে ভেক্টরের স্কেলার গুণননের ব্যবকলন সূত্র নিম্নরূপ হবে :
\displaystyle \frac{d}{du}(\overline{A} .\overline{B}) =\overline{A} .\frac{d}{du}(\overline{B}) +\overline{B} .\frac{d}{du}(\overline{A})
৩) দিক ব্যবকলক কী ?

উত্তর: কোন নির্দিষ্ট দিকে স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট এর উপাংশকে উক্ত স্কেলার ক্ষেত্রের দিক ব্যবকলক বলে । একক ভেক্টর \displaystyle \hat{a} এর দিকে গ্রেডিয়েন্ট \displaystyle \overline{\triangledown } \phi এর উপাংশ \displaystyle \overline{\triangledown } \phi .\hat{a} কে \displaystyle \phi -এর ব্যবকলক বলে।

৪) নতিমাত্রা বলতে কি বুঝ ?

উত্তর: ধরা যাক, \displaystyle \phi ( x,y,z) একটি ব্যবকলন যোগ্য স্কেলার ক্ষেত্র নির্দেশ করে । তাহলে \displaystyle \phi – এর নতিমাত্রাকে \displaystyle \triangledown \phi লিখে প্রকাশ করা হয় এবং নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত করা হয় ।
\displaystyle \triangledown \phi =\frac{\partial \phi }{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial \phi }{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial \phi }{\partial z}\hat{z} ------------( i)

কোন স্কেলার ক্ষেত্রের নতিমাত্রা বা গ্রেডিয়েন্ট একটা ভেক্টর রাশি । সুতরাং স্কেলার ক্ষেত্র হতে ভেক্টর ক্ষেত্রে উত্তরণের কৌশলী হচ্ছে স্কেলার ক্ষেত্রটির নতিমাত্রা গ্রহণ করা । সমীকরণ (i) নং দেখা যায়, \displaystyle \triangledown \phi এর নতিমাত্র অবস্থান এর সাপেক্ষে সর্বাধিক পরিবর্তনের হার নির্দেশ করে । এই সমীকরণ হতে বলা যায় যে \displaystyle \phi ( x,y,z) কে ভেক্টর অপারেটর বা কারক দিয়ে অপারেটর করলে বা ব্যবকলন করলে যা পাওয়া যায় তাকে \displaystyle ( x,y,z) বিন্দুতে \displaystyle \phi -এর নতিমাত্রা বলে । নতিমাত্রার মান হবে \displaystyle del.\phi

৫) গ্রেডিয়েন্ট-এর ভৌত তাৎপর্য লেখ ।

উত্তর: স্কেলার ক্ষেত্রেস্থিত তলে কোন বিন্দতে ঐ ক্ষেত্রের গ্রাডিয়েন্ট একটি ভেক্টর যা সংশ্লিষ্ট বিন্দুতে লম্ব দিকে স্কেলার সর্বোচ্চ পরিবর্তনের হার নির্দেশ করে ।

৬) কোন তলের গ্রাডিয়েন্টের দিক কোন দিকে হয় ?

উত্তর: কোন স্কেলার ক্ষেত্রস্থিত তলের কোন বিন্দুতে ঐ তলের গ্রাডিয়েন্টের দিক হবে ঐ বিন্দুতে উক্ত তলের লম্ব দিকে ।

৭) ডাইভারজেন্স ক?

উত্তর: \displaystyle \overline{A} =A_{x}\hat{i} +A_{y}\hat{j} +A_{z}\hat{k} ভেক্টরটি \displaystyle x,y এবং \displaystyle z এর সাপেক্ষে ব্যবকলনযোগ্য হলে \displaystyle \overline{\triangledown } .\overline{A} কে ডাইভারজেন্স বলে এবং একে নিম্নরুপে সংঙ্গায়িত করা হয \displaystyle \overline{\triangledown } .\overline{A} =\frac{\partial }{\partial x} A_{x} +\frac{\partial }{\partial y} A_{y} +\frac{\partial }{\partial z} A_{z}

৮) ডাইভারজেন্স – এর ভেীত তাৎপর্য লিখ।

উত্তর: কোন ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স একটি স্কেলার ক্ষেত্র যা মাধ্যমে ঘনত্বের পরিবর্তনের পরিমাপ নির্দেশ করে ।

৯) কোন ভেক্টরের ডােইভারজেন্স শূন্য হলে ভেক্টরটিকে কী বলে ?

উত্তর: কোন ভেক্টরের ডাইভারজেন্স শূন্য হলে ভেক্টরটিকে সলিনয়েডাল বলে ।

১০) একটি ভেক্টর ক্ষেত্র কখন সলিনইডাল হবে?

উত্তর: \displaystyle \overline{\triangledown } .\overline{A} =0 হলে ।

১১) কার্ল বা ঘূর্ণন বলতে কি বুঝ ?

উত্তর: কার্ল: কোন ভেক্টর ক্ষেত্র \displaystyle \overline{V}( x,y,z) =v_{1}\hat{i} +v_{2}\hat{j} +v_{3}\hat{k} -এর সকল বিন্দুতে \displaystyle \overline{V}( x,y,z) ব্যবকলনযোগ্য হলে \displaystyle \overline{\triangledown }\displaystyle \overline{V} এর ক্রস গুণনকে ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল বলে । সুতরাং \displaystyle \overline{V} এর কার্ল
\displaystyle \overline{\triangledown } .\overline{V} =\left(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial }{\partial z}\right) X( v_{1}\hat{i} +v_{2}\hat{j} +v_{3}\hat{k})

ভেক্টর ক্ষেত্র \displaystyle \overline{V}( x,y,z) এর কার্লকে \displaystyle \overline{\triangledown } X\overline{V} বা \displaystyle curl.\overline{V} বা \displaystyle rot.\ \overline{V} লিখে প্রকাশ করা হয় । কোন ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল ভেক্টর রাশি যা ঐ ক্ষেত্রের ঘূর্ণন ব্যাখ্যা করে । কোন ভেক্টরের কার্ল শূন্য হলে ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল হবে ।

১২) কার্লের ভেীত তাৎপর্য লিখ ।

উত্তর: কোন ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল একটি ভেক্টর যা ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের ঘূর্ণন বর্ণনা করে কোন ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল শূন্য হলে সে ভেক্টর ক্ষেত্র অঘূর্ণনশীল হবে ।

১৩) কোন ভেক্টরের কার্ল শূন্য হলে ভেক্টরটিকে কী বলে ।

উত্তর: কোন ভেক্টরের কার্ল শূন্য হলে ভেক্টরটিকে অঘূর্ণনশীল বলে।

১৪) একটি ভেক্টর কখন অঘূর্ণশীল হবে ?
উত্তর: \displaystyle \triangledown X\overline{A} =0 হলে ।

১৫) গ্রাডিয়েন্ট অর্থ কী ?
অথবা, গ্রাডিয়েন্ট কাকে বলে ?

উত্তর: গ্রাডিয়েন্ট শব্দের অর্থ ঢাল বা নতির মাত্রা । কোন স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রাডিয়েন্ট অবশ্যই ভেক্টর ক্ষেত্র হবে । সুতরাং স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রাডিয়েন্ট নিয়ে ভেক্টর ক্ষেত্র উৎপন্ন করা যায় ।

ভেক্টর বিশ্লেষণ

#) ভেক্টর বিশ্লেষণ অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নউত্তর- ১

#) ভেক্টর বিশ্লেষণ অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নউত্তর- ১

Post Author: showrob

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

96 − = 89